Sea $ABCD$ un cuadrado con lado de longitud $1$ y sea $O$ el punto medio de $AD$. Se dibuja un semicírculo con diámetro $AD$ dentro del cuadrado. Sea $E$ un punto sobre el lado $AB$ tal que $CE$ es tangente al círculo de centro $O$. Encuentra el área del triángulo $CBE$.

1 Para un primo dado $ p > 2$ y un entero positivo $ k$ , sea \[ S_k = 1^k + 2^k + \ldots + (p - 1)^k\] Halle aquellos valores de $ k$ para los cuales $ p \, |\, S_k$ .

G4 Sea $ABC $ un triángulo acutángulo tal que $AB\neq AC$ , con circunferencia circunscrita $ \Gamma$ y circuncentro $O$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ un punto sobre $ \Gamma$ tal que $AD \perp BC$ . Sea $T$ un punto tal que $BDCT$ es un paralelogramo y $Q$ un punto en el mismo lado de $BC$ que $A$ tal que $\angle{BQM}=\angle{BCA}$ y $\angle{CQM}=\angle{CBA}$ . Sea la recta $AO$ que interseca a $ \Gamma$ en $E$ $(E\neq A)$ y sea la circunferencia circunscrita de $\triangle ETQ$ que interseca a $ \Gamma$ en el punto $X\neq E$ . Demuestre que los puntos $A,M$ y $X$ son colineales.

g2.1.4 En el triángulo $\vartriangle ABC$, $D$ es el punto medio de $BC$. Los puntos $E$ y $F$ se eligen sobre el lado $AC$ de modo que $AF = FE = EC$. Sea $AD$ que interseca a $BE$ y $BF$ en $G$ y $H$, respectivamente. Encuentra la razón de las áreas de $\vartriangle BGH$ y $\vartriangle ABC$.

G3 Considere el triángulo $ABC$ tal que $AB \le AC$ . El punto $D$ sobre el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ que no contiene al punto $A$ y el punto $E$ sobre el lado $BC$ son tales que $\angle BAD = \angle CAE < \frac12 \angle BAC$ . Sea $S$ el punto medio del segmento $AD$ . Si $\angle ADE = \angle ABC - \angle ACB$ , demuestre que $\angle BSC = 2 \angle BAC$ .

G2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB$ es el lado más corto del triángulo. Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ y $P$ un punto interior del triángulo tal que $\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB$ . Denote por M y $N$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $P$ hasta $BC$ y $AC$ , respectivamente. Sea $p$ la recta que pasa por $ M$ paralela a $AC$ y $q$ la recta que pasa por $N$ paralela a $BC$ . Si $p$ y $q$ se intersecan en $K$ , demuestre que $D$ es el circuncentro del triángulo $MNK$ .

A1 Sean $x,y,z$ números reales positivos . Demuestre: $\frac{x}{\sqrt{\sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{z}}}+\frac{y}{\sqrt{\sqrt[4]{z}+\sqrt[4]{x}}}+\frac{z}{\sqrt{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}}\geq \frac{\sqrt[4]{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^7}}{\sqrt{2\sqrt{27}}}$

A2 Halle el máximo entero positivo $k$ tal que para cualesquiera enteros positivos $m,n$ que satisfacen $m^3+n^3>(m+n)^2$ , se tiene $$m^3+n^3\geq (m+n)^2+k$$ Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

G1 Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con $BC > AC$ , inscrito en una circunferencia $\Gamma$ . La circunferencia con centro $C$ y radio $CB$ interseca a $\Gamma$ en el punto $D$ , que está sobre el arco $AB$ que no contiene a $C$ . La circunferencia con centro $C$ y radio $CA$ interseca al segmento $CD$ en el punto $K$ . La recta paralela a $BD$ que pasa por $K$ interseca a $AB$ en el punto $L$ . Si $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el pie de la perpendicular trazada desde $H$ a $CL$ , demuestre que la recta $MN$ biseca al segmento $CH$ .

G1 Dado un paralelogramo $ABCD$ . La recta perpendicular a $AC$ que pasa por $C$ y la recta perpendicular a $BD$ que pasa por $A$ se intersecan en el punto $P$ . El círculo con centro en el punto $P$ y radio $PC$ interseca a la recta $BC$ en el punto $X$ , ( $X \ne C$ ) y a la recta $DC$ en el punto $Y$ , ( $Y \ne C$ ) . Demuestre que la recta $AX$ pasa por el punto $Y$ .