2 En el trapecio $ABCD$, $M$ es el punto medio de la base $AD$. El punto $E$ está en el segmento $BM$. Se sabe que $\angle ADB=\angle MAE=\angle BMC$. Demuestra que el triángulo $BCE$ es isósceles.

1 Los polinomios $F$ y $G$ satisfacen: $$F(F(x))>G(F(x))>G(G(x))$$ para todo $x$ real. Demuestra que $F(x)>G(x)$ para todo $x$ real.

4 Considera la sucesión $0, 1, 1, 1, \dots, 1$ que contiene $1996$ números, donde el primer número es $0$ y todos los demás son $1$. Si eliges dos o más números de la sucesión (pero no todos) y reemplazas uno de los números elegidos por la media aritmética de los números escogidos, se obtiene una nueva sucesión de $1996$ números. Demuestra que, repitiendo esta operación, es posible obtener una sucesión en la que todos los $1996$ números sean iguales. Observación: No es necesario elegir la misma cantidad de elementos en cada operación.

5 Queremos cubrir completamente un cuadrado de lado \(k\) (donde \(k\) es un entero mayor que 1) usando los siguientes rectángulos: \(1\) rectángulo de tamaño \(1 \times 1\), \(2\) rectángulos de tamaño \(2 \times 1\), \(4\) rectángulos de tamaño \(3 \times 1\), \(\cdots\), \(2^n\) rectángulos de tamaño \((n+1) \times 1\), de tal manera que los rectángulos no se superpongan y no se extiendan más allá de los límites del cuadrado. Encuentra todos los valores de \(k\) para los cuales esto es posible. Para cada valor de \(k\) encontrado, proporciona un dibujo de una solución.

6 Encuentra todos los enteros \( n \leq 3 \) tales que existe un conjunto \( S_n \) formado por \( n \) puntos del plano que satisfacen las siguientes dos condiciones: Cualesquiera tres puntos no son colineales. Ningún punto se encuentra dentro del círculo cuyo diámetro tiene extremos en cualesquiera dos puntos de \( S_n \). NOTA: Los puntos sobre la circunferencia no se consideran dentro del círculo.

¿Existen $14$ enteros positivos consecutivos, cada uno de los cuales tiene un divisor distinto de $1$ y que no exceda $11$?

3 Demuestra que todos los números reales positivos $a,b,c$ con $a+b+c=4$ satisfacen la desigualdad $$\frac{ab}{\sqrt[4]{3c^2+16}}+ \frac{bc}{\sqrt[4]{3a^2+16}}+ \frac{ca}{\sqrt[4]{3b^2+16}} \le\frac43 \sqrt[4]{12}$$

4 Sean \(P,Q,R\) tres puntos en una circunferencia \(k_1\) con \(|PQ|=|PR|\) y \(|PQ|>|QR|\). Sea \(k_2\) la circunferencia con centro en \(P\) que pasa por \(Q\) y \(R\). La circunferencia con centro \(Q\) que pasa por \(R\) corta a \(k_1\) en otro punto \(X\ne R\) y corta a \(k_2\) en otro punto \(Y\ne R\). Los dos puntos \(X\) y \(R\) están en lados distintos de la recta que pasa por \(PQ\). Demuestra que los tres puntos \(P\), \(X\), \(Y\) están en una misma recta.

2 Sea $S$ un conjunto de $n\ge2$ enteros positivos. Demuestra que existen al menos $n^2$ enteros que pueden escribirse en la forma $x+yz$ con $x,y,z\in S$ . Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria

2 Resuelve en números naturales el sistema de ecuaciones $3x^2+6y^2+5z^2=1997$ y $3x+6y+5z=161$ .