5 Queremos cubrir completamente un cuadrado de lado \(k\) (donde \(k\) es un entero mayor que 1) usando los siguientes rectángulos: \(1\) rectángulo de tamaño \(1 \times 1\), \(2\) rectángulos de tamaño \(2 \times 1\), \(4\) rectángulos de tamaño \(3 \times 1\), \(\cdots\), \(2^n\) rectángulos de tamaño \((n+1) \times 1\), de tal manera que los rectángulos no se superpongan y no se extiendan más allá de los límites del cuadrado. Encuentra todos los valores de \(k\) para los cuales esto es posible. Para cada valor de \(k\) encontrado, proporciona un dibujo de una solución.

3 Demuestra que todos los números reales positivos $a,b,c$ con $a+b+c=4$ satisfacen la desigualdad $$\frac{ab}{\sqrt[4]{3c^2+16}}+ \frac{bc}{\sqrt[4]{3a^2+16}}+ \frac{ca}{\sqrt[4]{3b^2+16}} \le\frac43 \sqrt[4]{12}$$

4 Sean \(P,Q,R\) tres puntos en una circunferencia \(k_1\) con \(|PQ|=|PR|\) y \(|PQ|>|QR|\). Sea \(k_2\) la circunferencia con centro en \(P\) que pasa por \(Q\) y \(R\). La circunferencia con centro \(Q\) que pasa por \(R\) corta a \(k_1\) en otro punto \(X\ne R\) y corta a \(k_2\) en otro punto \(Y\ne R\). Los dos puntos \(X\) y \(R\) están en lados distintos de la recta que pasa por \(PQ\). Demuestra que los tres puntos \(P\), \(X\), \(Y\) están en una misma recta.

2 Sea $S$ un conjunto de $n\ge2$ enteros positivos. Demuestra que existen al menos $n^2$ enteros que pueden escribirse en la forma $x+yz$ con $x,y,z\in S$ . Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria

2 Resuelve en números naturales el sistema de ecuaciones $3x^2+6y^2+5z^2=1997$ y $3x+6y+5z=161$ .

El producto de cualesquiera tres de estos cuatro números naturales es un cuadrado perfecto. Demuestra que estos números mismos son cuadrados perfectos.

4 Usando únicamente un ángulo con medida $\frac{\pi}{7}$ y una regla, construye un ángulo de $\frac{\pi}{14}$.

3 ¿Es posible pintar todos los números naturales con $6$ colores, de modo que cada color se use y la suma de cualesquiera cinco números de colores distintos esté pintada del sexto color?

2008.5 El rectángulo $[ABCD]$ representado en la figura, $AB=16$, $BC=12$ y $[AFCE]$ es un rombo. Determina $EF$. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/2/51c2540b3512b79309a9aa55fd912aafeb472a.png

7 Se sabe que cada estudiante de la clase visitó alguna vez la pista de patinaje el domingo, y que cada chico se encontró allí con cada chica. Demuestra que hubo un momento en el que todos los chicos, o todas las chicas de la clase, estaban simultáneamente en la pista.