3 Sean $x_1,..., x_n$ números reales no negativos, no todos ellos nulos. (i) Demuestre que $$1 \le \frac{\left(x_1+\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{3}+...+\frac{x_n}{n}\right)(x_1+2x_2+3x_3+...+nx_n)}{(x_1+x_2+x_3+...+x_n)^2} \le \frac{(n+1)^2}{4n}$$ (ii) Muestre que, para cada $n > 1$ , ambas desigualdades pueden cumplirse como igualdades.

5 Llamamos perfecta a una tupla $(b_m, b_{m+1},..., b_n)$ de enteros si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. Existe un entero $a > 1$ tal que $b_k = a^k + 1$ para todo $k = m, m + 1,..., n$ 2. Para todo $k = m, m + 1,..., n,$ existe un número primo $q$ y un entero no negativo $t$ tales que $b_k = q^t$ . Demuestre que si $n - m$ es suficientemente grande entonces no hay tuplas perfectas, y halle todas las tuplas perfectas con el número máximo de componentes.

6 Una clase está formada por $7$ niños y $13$ niñas. Durante los primeros tres meses del año escolar, cada niño se ha comunicado con cada niña al menos una vez. Demuestre que existen dos niños y dos niñas tales que ambos niños se comunicaron con ambas niñas por primera vez en el mismo mes.

1 Demuestre que para cualquier entero positivo $k$ existen $k$ enteros distintos dos a dos para los cuales la suma de sus cuadrados es igual a la suma de sus cubos.

2 Para un entero positivo $n$ dado se deben elegir enteros positivos $a_0, a_1,...$ de modo que se cumplan las siguientes condiciones: (1) $a_i = a_{i+n}$ para cualquier $i$ , (2) $a_i$ no es divisible por $n$ para cualquier $i$ , (3) $a_{i+a_i}$ es divisible por $a_i$ para cualquier $i$ . ¿Para qué enteros positivos $n > 1$ esto solo es posible si los números $a_0, a_1, ...$ son todos iguales?

3 En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ tenemos $|AD| > |BC|$ y los vértices $C$ y $D$ se encuentran sobre el arco menor $AB$ de la circunferencia circunscrita. Los rayos $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $K$ ; las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $P$ . La recta $KP$ interseca el lado $AB$ en el punto $L$ . Demuestre que $\angle ALK$ es agudo.

4 Sea $ABC$ un triángulo donde $|AB| = |AC|$ . Los puntos $P$ y $Q$ son distintos de los vértices del triángulo y se encuentran sobre los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $APQ$ pasa por el circuncentro de $ABC$ si y solo si $|AP| = |CQ|$ .

5 Sean $x, y, z$ números reales positivos cuya suma es $2012$ . Halle el valor máximo de $$ \frac{(x^2 + y^2 + z^2)(x^3 + y^3 + z^3)}{(x^4 + y^4 + z^4)}$$

6 Sea $m$ un entero positivo, y considere un tablero de ajedrez de $m\times m$ formado por cuadrados unitarios. En el centro de algunos de estos cuadrados unitarios hay una hormiga. En el instante $0$ , cada hormiga comienza a moverse con velocidad $1$ paralela a algún borde del tablero. Cuando dos hormigas que se mueven en direcciones opuestas se encuentran, ambas giran $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj y continúan moviéndose con velocidad $1$ . Cuando se encuentran más de $2$ hormigas, o cuando dos hormigas que se mueven en direcciones perpendiculares se encuentran, las hormigas continúan moviéndose en la misma dirección que antes de encontrarse. Cuando una hormiga alcanza uno de los bordes del tablero, cae y no reaparece. Considerando todas las posiciones iniciales posibles, determine el momento más tardío posible en el que la última hormiga cae del tablero, o demuestre que tal momento no existe necesariamente. Propuesto por Toomas Krips, Estonia Amir

1 Dos circunferencias se encuentran completamente fuera una de la otra. Sea $A$ el punto de intersección de las tangentes comunes internas de las circunferencias y sea $K$ la proyección de este punto sobre una de sus tangentes comunes externas. Las tangentes a las circunferencias que pasan por el punto $K$ , distintas de la tangente común, cortan a las circunferencias en $M_1$ y $M_2$ . Demuestre que la recta $AK$ biseca el ángulo $M_1 KM_2$ .