4 Halle todos los enteros positivos $a,b,c$ y el primo $p$ que satisfacen \[ 2^a p^b=(p+2)^c+1.\]

12 Considere el triángulo $ABC$ con $\angle A= 90^{\circ}$ y $\angle B \not= \angle C$ . Un círculo $\mathcal{C}(O,R)$ pasa por $B$ y $C$ e interseca a los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Sea $S$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ y sea $K$ el punto de intersección de $AS$ con el segmento $DE$ . Si $M$ es el punto medio de $BC$ , demuestre que $AKOM$ es un paralelogramo.

1 Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras. Llamamos potencia plátano al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k}$ que puede insertarse entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal manera que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$ . Determine el valor de $p(2025)$ .

2016 g2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D$ , $E$ y $F$ puntos sobre los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ , respectivamente, tales que $AD$ , $BE$ y $CF$ son concurrentes. Sean $X, Y$ y $Z$ puntos sobre los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ , respectivamente, tales que los triángulos $AFY$ , $ZBD$ y $EXC$ son semejantes. Demuestre que $AX$ , $BY$ y $CZ$ son concurrentes.

2016 g3.2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $N$ un punto del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ tal que $\angle NAC= \angle BAM$ . Sea $R$ el punto medio de $AM$ , $S$ el punto medio de $AN$ y $T$ el pie de la altura trazada por $A$ . Demuestre que $R$ , $S$ y $T$ son colineales.

2 Un número $n$ es interesante si 2018 divide a $d(n)$ (el número de divisores positivos de $n$ ) . Determine todos los enteros positivos $k$ tales que existe una progresión aritmética infinita con diferencia común $k$ cuyos términos son todos interesantes.

5 Demuestre que existe un real positivo $C$ tal que para cualesquiera naturales $H,N$ que satisfacen $H \geq 3, N \geq e^{CH}$ , para cualquier subconjunto de $\{1,2,\ldots,N\}$ de tamaño $\lceil \frac{CHN}{\ln N} \rceil$ , se pueden encontrar $H$ naturales en él tales que el máximo común divisor de cualesquiera dos elementos es el máximo común divisor de todos los $H$ elementos.

2. ¿Es posible acomodar en un círculo todos los enteros compuestos positivos que no superan \( 10^6 \), de modo que no haya dos números vecinos que sean coprimos? Autor: L. Emelyanov, Tuymaada 2008, Liga Junior, Primer Día, Problema 2. Demuestra que todos los enteros compuestos positivos que no superan \( 10^6 \) pueden acomodarse en un círculo de modo que no haya dos números vecinos que sean coprimos.

6 Un palíndromo es un número que es el mismo cuando sus dígitos se invierten. Encuentra todos los números que tienen al menos un múltiplo que sea un palíndromo.

A2 Sean $a, b, c $ números reales positivos tales que $abc = \frac {2} {3}. $ Demuestre que: $$\frac {ab}{a + b} + \frac {bc} {b + c} + \frac {ca} {c + a} \geqslant \frac {a+b+c} {a^3+b ^ 3 + c ^ 3}.$$