Un saltamontes salta sobre la recta numérica. Comienza en el punto $x = 1$ con $E$ de energía. En cada paso, el saltamontes puede saltar hacia la derecha; si salta del punto $y$ al punto $z$ , debe gastar $\frac{z}{y^2}$ de energía. Halle el mínimo $E$ tal que para todo $n$ , el saltamontes pueda realizar $n$ saltos.

Sea $n > 2026^{2026}$ . Un canguro salta sobre una cuadrícula de $n \times n$ cuadrados. En cada movimiento, puede saltar de un cuadrado a un cuadrado adyacente por un lado. En toda subcuadrícula de $2026 \times 2026$ , el canguro puede visitar a lo sumo $r$ veces en total. Halle el mínimo $r$ para el cual el canguro puede visitar al menos $\frac{n^2}{10^{100}}$ cuadrados distintos.

Sea $f: \mathbb{Z}[x,y] \to \mathbb{Z}[x,y]$ una función que satisface las siguientes condiciones: $f(1) = 1$ , donde $1$ denota el polinomio constante $1$ ; Para todos $P, Q \in \mathbb{Z}[x,y]$ , $f(P+Q) = f(P) + f(Q)$ ; Para todo $P \in \mathbb{Z}[x,y]$ y para todo número primo $r$ , existen $n_0, m_0 \in \mathbb{Z}$ tales que $r \mid P(n_0, m_0)$ si y solo si existen $n_1, m_1 \in \mathbb{Z}$ tales que $r \mid f(P)(n_1, m_1)$ . Demuestre que $f(PQ) = f(P)f(Q)$ para todos $P, Q \in \mathbb{Z}[x,y]$ .

2 Sea $ABCD$ un tetraedro. (a) Si el plano $(P)$ corta a $ABCD,$ halle la condición necesaria y suficiente para que la sección formada por la intersección del plano $(P)$ con el tetraedro sea un paralelogramo. Demuestre que el problema tiene tres soluciones en este caso. (b) Considere una de las soluciones de (a). Halle la posición del plano $(P)$ para la cual el paralelogramo tiene área máxima. (c) Halle un plano $(P)$ para el cual el paralelogramo sea un rombo y luego halle la longitud del lado de dicho rombo en términos de las longitudes de las aristas de $ABCD.$ Amir

Dados enteros positivos $n, m$ y un grafo completo de $n$ vértices. En cada arista del grafo, Ayala escribe un entero entre $1$ y $m$ . Barvaz elige un vértice del grafo, un entero $k$ y una sucesión $a_1, a_2, \dots, a_k$ de enteros entre $1$ y $m$ . Luego Ayala camina a lo largo de los vértices del grafo: comienza en el vértice elegido por Barvaz, y en el paso $i$ - ésimo, debe caminar por una arista etiquetada con el número $a_i$ (se le permite recorrer la misma arista más de una vez). A Ayala se le prohíbe volver al vértice inicial. Si Ayala no puede realizar un movimiento, pierde. Halle todos los pares $(n, m)$ para los cuales Ayala pierde.

Halle todas las sucesiones $a_n$ de números reales tales que $a_1 = 1$ , $a_2 = 2$ , y para todos los enteros positivos distintos dos a dos $m, n, k$ , se cumple al menos una de las siguientes ecuaciones: \[ a_n + a_m = a_{n+m},\quad a_n + a_k = a_{n+k},\quad a_m + a_k = a_{m+k}. \]

Sea $P$ un punto de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Las reflexiones de $P$ con respecto a los lados $AB, AC$ se denotan por $P_B, P_C$ , respectivamente. Las rectas $PP_C, PP_B$ cortan a $BC$ en $X, Y$ respectivamente. Sea $U$ el punto de intersección de $P_BP_C$ con $BC$ . Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita de $\triangle PXY$ . Sea $T$ el segundo punto de intersección de la perpendicular trazada desde $P$ a $BC$ con $\Gamma$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle AP_BP_C$ , $\Gamma$ y la recta $UT$ comparten un punto común.

Sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$ . Sean $K,N,M$ los puntos medios de los lados $AB, AC, BC$ , respectivamente. Sean $B_M,C_M,A_N,C_N,A_K,B_K$ los puntos medios de los segmentos $BM,CM,AN,CN,AK,BK$ , respectivamente. Demuestre que $G$ está en el eje radical de las circunferencias circunscritas de los triángulos $B_MC_NA_K$ y $C_MA_NB_K$ .

Sea $T$ un árbol. Denótese por $S(T)$ la suma de las distancias entre cada par de hojas de $T$ . Determine el máximo valor posible de $S(T)$ sobre todos los árboles con $2026$ vértices.

Sea $M$ un entero positivo. Una sucesión de enteros positivos $a_1,a_2,\ldots$ se llama casi Fibonacci si \[ M \ge \left|a_n-a_{n-1}-a_{n-2}\right| \] para todo $n\ge2$ . Demuestre que para toda sucesión casi Fibonacci no acotada existen infinitos primos que dividen a un elemento de la sucesión.