3 Demuestre que para todo entero $n > 10000$ existe un entero $m$ tal que puede escribirse como suma de dos cuadrados, y $0<m-n<3\sqrt[4]n$ .

4 Hay 2002 pueblos en un reino. Algunos de los pueblos están conectados por caminos de tal manera que, si se cierran todos los caminos que salen de una ciudad, todavía se puede viajar entre cualesquiera dos ciudades. Cada año, el reino elige un ciclo de caminos que no se corta a sí mismo, funda un pueblo nuevo, lo conecta por caminos con cada ciudad del ciclo elegido y cierra todos los caminos del ciclo original. Después de varios años, no quedan ciclos que no se corten a sí mismos. Demuestre que en ese momento hay al menos 2002 pueblos, y de cada uno de ellos sale exactamente un camino.

1 Para números reales positivos $a, b, c$ tales que $a+b+c=3$ , demuestre que: \[\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge ab+bc+ca.\]

3 Sea $A^\prime$ el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita de un triángulo $ABC$ (correspondiente a $A$ ) con el lado $BC$ . La recta $a$ que pasa por $A^\prime$ es paralela a la bisectriz de $\angle BAC$ . Las rectas $b$ y $c$ se definen análogamente. Demuestre que $a, b, c$ tienen un punto común.

4 En un plano se dan finitamente muchas rectas rojas y azules, sin dos paralelas, tales que todo punto de intersección de dos rectas del mismo color también se encuentra sobre otra recta del otro color. Demuestre que todas las rectas pasan por un solo punto.

2 Se dan varios puntos en el plano. Suponga que para cualesquiera tres de ellos existe un sistema de coordenadas ortogonal (determinado por los dos ejes y la unidad de longitud) en el que estos tres puntos tienen coordenadas enteras. Demuestre que existe un sistema de coordenadas ortogonal en el que todos los puntos dados tienen coordenadas enteras.

3 Demuestre que si $0<x<\frac{\pi}{2}$ y $n>m$ , donde $n$ , $m$ son números naturales, \[ 2 \left| \sin^n x - \cos^n x \right| \le 3 \left| \sin^m x - \cos^m x \right|.\]

4 Hay algunos mercados en una ciudad. Algunos de ellos están unidos por calles de un solo sentido, de modo que para cualquier mercado hay exactamente dos calles para salir de él. Demuestre que la ciudad puede dividirse en $1014$ distritos de modo que las calles unan solo mercados de distritos diferentes, y con el mismo sentido único para cualesquiera dos distritos (o solo del primero al segundo, o viceversa).

2 Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se cortan en $O$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AOB$ y $COD$ se cortan de nuevo en $K$ . El punto $L$ es tal que los triángulos $BLC$ y $AKD$ son semejantes e igualmente orientados. Demuestre que si el cuadrilátero $BLCK$ es convexo, entonces es circunscrito [tiene una circunferencia inscrita].

3 En un plano se dan finitamente muchas rectas rojas y azules, sin dos paralelas, tales que todo punto de intersección de dos rectas del mismo color también se encuentra sobre otra recta del otro color. Demuestre que todas las rectas pasan por un solo punto.