6 Sean dos circunferencias en el plano que están en el exterior una de la otra (es decir, no se intersectan), y sea un punto dado en cada circunferencia. Construye dos circunferencias de igual radio que sean tangentes a las circunferencias dadas y que se intersecten en el segmento de recta que une los puntos dados.

17. Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales y $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ una función que satisface $f(x)f(y)=f(x-y)$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$. Encuentra todos los valores posibles de $f(2025)$. Pi-Infinity

18. En la figura siguiente, $BD=CD$, $BE=DE$, $AP=PD$, y $DG \parallel CF$. Determina la razón $\frac{\text{área}(\triangle ADH)}{\text{área}(\triangle ABC)}$.

5 Demuestra que cualquier triángulo semejante al triángulo $ABC$ puede colocarse sobre papel cuadriculado con sus vértices en los vértices de la cuadrícula. Las condiciones necesarias y suficientes son que $\dfrac{S}{a^2}$ , $\dfrac{S}{b^2}$ , y $\dfrac{S}{c^2}$ sean números racionales. Donde $S$ es el área del triángulo $ABC$ , y $a$ , $b$ , y $c$ son los lados.

4 Cada punto del plano está coloreado con uno de dos colores. Demuestra que existen tres puntos del mismo color que forman los vértices de un triángulo semejante a un triángulo dado.

2 Sea $ABC$ un triángulo. Supón que las distancias desde el vértice del ángulo más pequeño al circuncentro y al ortocentro del triángulo son iguales. Demuestra que el triángulo es equilátero.

Dado un trapecio $ABCD$ con bases $AB$ y $CD$ y un punto $K$, demuestra que $S_{AKD}=S_{BMD}$ si $AL\parallel CK$, $L\in BC$, $DL\parallel KM$, y $M\in BC$.

1 Demuestra que la ecuación $4x^2-14xy+y^2+261=0$ tiene infinitas soluciones en números naturales.

2 Sea $P_3(n)$ el número de descomposiciones posibles de $n$ como suma de $3$ números naturales (sin importar el orden). Demuestra que \[P_3(6k+4)=3k^2+4k+1.\]

C1 Un tablero de $ n \times n$ ( $n \ge 3$ ) está dividido en $n^2$ cuadrados unitarios. Se escriben los enteros desde $O$ hasta $n$ inclusive: un entero en cada cuadrado unitario, de manera que las sumas de los enteros en cada cuadrado $2\times 2$ del tablero sean todas distintas. Halle todos los $n$ para los cuales existen tales tableros.