Se da un triángulo $ABC$. El segmento que une los puntos donde las circunferencias exinscritas tocan a $AB$ y $AC$ corta a la bisectriz del ángulo $C$ en $X$. El segmento que une los puntos donde las circunferencias exinscritas tocan a $BC$ y $AC$ corta a la bisectriz del ángulo $A$ en $Y$. Demuestra que el punto medio de $XY$ equidista de $A$ y $C$.

6 Dado el triángulo $ABC$. En el arco $BC$ de su circunferencia circunscrita, que no contiene al punto $A$, se selecciona un punto variable $X$, y en los rayos $XB$ y $XC$, los puntos variables $Y$ y $Z$, respectivamente, de modo que $XA = XY = XZ$. Demuestra que la recta $YZ$ pasa por un punto fijo. Propuesto por A. Kuznetsov

7 Se tienen dos polinomios \(f\) y \(g\) de grado \(100\) con coeficientes reales. Para cada entero positivo \(n\) existe un entero \(k\) tal que \[\frac{f(k)}{g(k)}=\frac{n+1}{n}.\] Demuestra que \(f\) y \(g\) tienen un factor común no constante.

8 Un grafo $G$ tiene $n$ vértices ($n>1$). Para cada arista $e$, sea $c(e)$ el número de vértices del subgrafo completo más grande que contiene a $e$. Demuestra que la desigualdad (la suma es sobre todas las aristas de $G$): \[ \sum_{e} \frac{c(e)}{c(e)-1}\le \frac{n^2}{2}. \]

1 Para un conjunto finito no vacío de primos $P$, sea $m(P)$ el mayor número posible de enteros positivos consecutivos, cada uno de los cuales es divisible por al menos un miembro de $P$. (i) Demuestra que $|P|\le m(P)$, con igualdad si y solo si $\min(P)>|P|$. (ii) Demuestra que $m(P)<(|P|+1)(2^{|P|}-1)$. (El número $|P|$ es el tamaño del conjunto $P$) Dan Schwarz, Rumania

2 Para cada entero positivo $n$, encuentra el mayor número real $C_n$ con la siguiente propiedad. Dadas cualesquiera $n$ funciones reales $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ definidas en el intervalo cerrado $0 \le x \le 1$, se pueden encontrar números $x_1, x_2, \cdots, x_n$, tales que $0 \le x_i \le 1$ satisfaciendo \[|f_1(x_1)+f_2(x_2)+\cdots+f_n(x_n)-x_1x_2\cdots x_n| \ge C_n\] Marko Radovanović, Serbia

3 Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero sin pares de lados paralelos. Para cada $i=1, 2, 3, 4$, define $\omega_1$ como el círculo que toca al cuadrilátero externamente, y que es tangente a las rectas $A_{i-1}A_i, A_iA_{i+1}$ y $A_{i+1}A_{i+2}$ (los índices se consideran módulo $4$, así que $A_0=A_4, A_5=A_1$ y $A_6=A_2$). Sea $T_i$ el punto de tangencia de $\omega_i$ con el lado $A_iA_{i+1}$. Demuestra que las rectas $A_1A_2, A_3A_4$ y $T_2T_4$ son concurrentes si y solo si las rectas $A_2A_3, A_4A_1$ y $T_1T_3$ son concurrentes. Pavel Kozhevnikov, Rusia

4 Determina si existe un polinomio $f(x_1, x_2)$ con dos variables, con coeficientes enteros, y dos puntos $A=(a_1, a_2)$ y $B=(b_1, b_2)$ en el plano, que satisfagan las siguientes condiciones: (i) $A$ es un punto entero (es decir, $a_1$ y $a_2$ son enteros); (ii) $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|=2010$; (iii) $f(n_1, n_2)>f(a_1, a_2)$ para todos los puntos enteros $(n_1, n_2)$ del plano distintos de $A$; (iv) $f(x_1, x_2)>f(b_1, b_2)$ para todos los puntos enteros $(x_1, x_2)$ del plano distintos de $B$. Massimo Gobbino, Italia

3 Sea $n$ un entero positivo. ¿De cuántas maneras se puede embaldosar una cuadrícula de $4 \times 4n$ con el siguiente tetrominó? [asy] size(4cm); draw((1,0)--(3,0)--(3,1)--(0,1)--(0,0)--(1,0)--(1,2)--(2,2)--(2,0)); [/asy]

Sea $n$ un entero positivo dado. Diremos que un conjunto $K$ de puntos con coordenadas enteras en el plano es conexo si para cada par de puntos $R, S\in K$, existe un entero positivo $\ell$ y una sucesión $R=T_0,T_1, T_2,\ldots ,T_{\ell}=S$ de puntos en $K$, donde cada $T_i$ está a distancia $1$ de $T_{i+1}$. Para tal conjunto $K$, definimos el conjunto de vectores \[\Delta(K)=\{\overrightarrow{RS}\mid R, S\in K\}\] ¿Cuál es el valor máximo de $|\Delta(K)|$ sobre todos los conjuntos conexos $K$ de $2n+1$ puntos con coordenadas enteras en el plano? Grigory Chelnokov, Rusia