3 Las $ n$ raíces de un polinomio de coeficientes complejos $ f(z) = z^n + a_1z^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1}z + a_n$ son $ z_1, z_2, \cdots, z_n$ . Si $ \sum_{k = 1}^n |a_k|^2 \leq 1$ , demuestre que $ \sum_{k = 1}^n |z_k|^2 \leq n$ .

1 $m$ y $n$ son enteros positivos. Sea $A=\{ 1, 2, \cdots, n \}$ . Sea el conjunto $B_{n}^{m}=\{ (a_1, a_2 \cdots, a_m) \mid a_i \in A, i= 1, 2, \cdots, m \}$ que satisface: (1) $|a_i - a_{i+1}| \neq n-1$ , $i=1,2, \cdots, m-1$ ; y (2) al menos tres de $a_1, a_2, \cdots, a_m$ ( $m \geq 3$ ) son distintos dos a dos. Halle $|B_n^m|$ y $|B_6^3|$ .

3 Sea $x_0+\sqrt{2003}y_0$ la raíz entera positiva mínima de la ecuación de Pell $x^2-2003y^2=1$ . Halle todas las soluciones enteras positivas $(x,y)$ de la ecuación tales que $x_0$ es divisible por todo factor primo de $x$ .

2 Halle el menor número real $m$ tal que con cualesquiera $5$ triángulos equiláteros cuya suma de áreas sea $m$ se pueda cubrir un triángulo equilátero de lado 1. O. Mushkarov, N. Nikolov

1 En el triángulo $ABC$ , $AB > BC > CA$ , $AB=6$ , $\angle{B}-\angle{C}=90^o$ . La circunferencia inscrita es tangente a $BC$ en $E$ y $EF$ es un diámetro de la circunferencia inscrita. La recta radical $AF$ corta a $BC$ en $D$ . $DE$ es igual al circunradio de $\triangle{ABC}$ . Halle $BC$ y $AC$ .

2 Halle todas las funciones $f,g$ : $R \to R$ tales que $f(x+yg(x))=g(x)+xf(y)$ para $x,y \in R$ .

3 Sean $A= \{a_1,a_2, \cdots, a_n \}$ y $B=\{b_1,b_2 \cdots, b_n \}$ dos conjuntos de enteros positivos con $|A \cap B|=1$ . $C= \{ \text{todos los subconjuntos de 2 elementos de A} \} \cup \{ \text{todos los subconjuntos de 2 elementos de B} \}$ . La función $f: A \cup B \to \{ 0, 1, 2, \cdots 2 C_n^2 \}$ es inyectiva. Para cualquier $\{x,y\} \in C$ , denotemos $|f(x)-f(y)|$ como la $\textsl{marca}$ de $\{x,y\}$ . Si $n \geq 6$ , demuestre que al menos dos elementos de $C$ tienen la misma $\textsl{marca}$ .

1 Sea $S$ el conjunto de puntos del interior y del borde de un hexágono regular de lado 1. Halle la menor constante $r$ tal que existe una forma de colorear todos los puntos de $S$ con tres colores de modo que la distancia entre cualesquiera dos puntos del mismo color sea menor que $r$ .

2 Denotemos por $\left(ABC\right)$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ . Sea $ABC$ un triángulo isósceles rectángulo con $AB=AC=1$ y $\measuredangle CAB=90^{\circ}$ . Sea $D$ el punto medio del lado $BC$ , y sean $E$ y $F$ dos puntos sobre el lado $BC$ . Sea $M$ el punto de intersección de las circunferencias $\left(ADE\right)$ y $\left(ABF\right)$ (distinto de $A$ ) . Sea $N$ el punto de intersección de la recta $AF$ y la circunferencia $\left(ACE\right)$ (distinto de $A$ ) . Sea $P$ el punto de intersección de la recta $AD$ y la circunferencia $\left(AMN\right)$ . Halle la longitud de $AP$ .

3 La sucesión $\{ a_n \}$ satisface: $a_1=3$ , $a_2=7$ , $a_n^2+5=a_{n-1}a_{n+1}$ , $n \geq 2$ . Si $a_n+(-1)^n$ es primo, demuestre que existe un entero no negativo $m$ tal que $n=3^m$ .