1 Sea $ k \in \mathbb{N}$ . Un polinomio se llama $ k$ - válido si todos sus coeficientes son enteros entre 0 y $ k$ inclusive. (Aquí no consideramos que 0 sea un número natural.) a.) Para $ n \in \mathbb{N}$ sea $ a_n$ el número de polinomios 5-válidos $ p$ que satisfacen $ p(3) = n.$ Demuestre que cada número natural aparece en la sucesión $ (a_n)_n$ al menos una vez pero solo finitas veces. b.) Para $ n \in \mathbb{N}$ sea $ a_n$ el número de polinomios 4-válidos $ p$ que satisfacen $ p(3) = n.$ Demuestre que cada número natural aparece infinitas veces en la sucesión $ (a_n)_n$ .

6 Sea $\mathbb{Q}$ el conjunto de los números racionales. Una función $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ se llama acuésulica si cumple la siguiente propiedad: para todo $x,y \in \mathbb{Q}$, \[ f(x+f(y)) = f(x) + y \quad \text{o} \quad f(f(x)+y) = x + f(y). \] Demuestra que existe un entero $c$ tal que para cualquier función acuésulica $f$ hay a lo más $c$ números racionales distintos de la forma $f(r) + f(-r)$ para algún número racional $r$, y encuentra el menor valor posible de $c$.

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. El círculo con diámetro $BC$ interseca los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Denota por $O$ el punto medio del lado $BC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle MON$ se intersecan en $R$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BMR$ y $CNR$ tienen un punto común que yace sobre el lado $BC$. Valentin

2 Sea $\Gamma$ un círculo y sea $d$ una recta tal que $\Gamma$ y $d$ no tienen puntos en común. Además, sea $AB$ un diámetro del círculo $\Gamma$; supón que este diámetro $AB$ es perpendicular a la recta $d$, y que el punto $B$ está más cerca de la recta $d$ que el punto $A$. Sea $C$ un punto arbitrario en el círculo $\Gamma$, distinto de los puntos $A$ y $B$. Sea $D$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $d$. Una de las dos tangentes desde el punto $D$ al círculo $\Gamma$ toca a este círculo $\Gamma$ en un punto $E$; aquí, suponemos que los puntos $B$ y $E$ están en el mismo semiplano con respecto a la recta $AC$. Denota por $F$ el punto de intersección de las rectas $BE$ y $d$. Sea la recta $AF$ que interseca al círculo $\Gamma$ en un punto $G$, distinto de $A$. Demuestra que la reflexión del punto $G$ en la recta $AB$ está sobre la recta $CF$.

2 Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ circunferencias en el plano. Cada dos de ellas se cortan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres circunferencias con un punto común). Ninguna tres circunferencias tienen un punto en común. Cada punto de intersección debe colorearse con uno de $n$ colores distintos, de modo que cada color se use al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada circunferencia. Encuentra todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible. Propuesto por Horst Sewerin, Alemania

3 La siguiente operación está permitida en un grafo finito: elige un ciclo arbitrario de longitud 4 (si existe), elige una arista arbitraria de ese ciclo y elimínala del grafo. Para un entero fijo ${n\ge 4}$, encuentra el número mínimo de aristas de un grafo que se puede obtener aplicando repetidamente esta operación al grafo completo con $n$ vértices (donde cada par de vértices está unido por una arista). Propuesto por Norman Do, Australia.

4 Considera una matriz de tamaño $n\times n$ cuyas entradas son números reales de valor absoluto no mayor que $1$. La suma de todas las entradas de la matriz es $0$. Sea $n$ un entero positivo par. Determina el menor número $C$ tal que toda matriz de este tipo tenga necesariamente una fila o una columna cuya suma de entradas no exceda $C$ en valor absoluto. Propuesto por Marcin Kuczma, Polonia

5 $A$ y $B$ juegan un juego, dado un entero $N$, $A$ escribe $1$ primero, luego cada jugador ve el último número escrito y si es $n$, en su turno escribe $n+1$ o $2n$, pero su número no puede ser mayor que $N$. El jugador que escribe $N$ gana. ¿Para qué valores de $N$ gana $B$? Propuesto por A. Slinko y S. Marshall, Nueva Zelanda.

Para una matriz ${n\times n}$ $A$, sea $X_{i}$ el conjunto de entradas en la fila $i$, y $Y_{j}$ el conjunto de entradas en la columna $j$, con ${1\leq i,j\leq n}$. Decimos que $A$ es dorada si ${X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{n}}$ son conjuntos distintos. Encuentra el menor entero $n$ tal que existe una matriz dorada de ${2004\times 2004}$ con entradas en el conjunto ${\{1,2,\dots ,n\}}$.

Define un "gancho" como una figura formada por seis cuadrados unitarios como se muestra abajo en la imagen, o cualquiera de las figuras obtenidas al aplicar rotaciones y reflexiones a esta figura. [asy] unitsize(0.5 cm); draw((0,0)--(1,0)); draw((0,1)--(1,1)); draw((2,1)--(3,1)); draw((0,2)--(3,2)); draw((0,3)--(3,3)); draw((0,0)--(0,3)); draw((1,0)--(1,3)); draw((2,1)--(2,3)); draw((3,1)--(3,3)); [/asy] Determina todos los rectángulos $ m\times n$ que pueden cubrirse sin huecos ni superposiciones con ganchos, de modo que - el rectángulo quede cubierto sin huecos ni superposiciones - ninguna parte de un gancho cubra área fuera del rectángulo. Valentín