4 Halle todos los enteros positivos $k,m$ y $n$ tales que $k!+3^m=3^n$

1 Halle todos los números naturales de dos dígitos tales que al restar del número siete veces la suma de sus dígitos se obtiene un número primo.

2 Dua tiene todos los números naturales impares menores que 20. Asija tiene todos los números pares menores que 21. Juegan el siguiente juego. En cada ronda, se toman un número el uno al otro y después de cada ronda pueden fijar dos o más números consecutivos para que su oponente no pueda tomar estos números fijados en la siguiente ronda. El juego lo gana el jugador que logra 10 números consecutivos primero. ¿Alguno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora?

1 Nueve pesas están colocadas en una balanza con los respectivos valores $1kg,2kg,...,9kg$ . ¿De cuántas maneras podemos colocar seis pesas en el lado izquierdo y tres pesas en el lado derecho de modo que el lado derecho sea más pesado que el izquierdo?

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ tales que para todos los números reales $x,y$ : $f(x)f(y)+f(xy)\leq x+y$ .

3 Demuestre que para cualesquiera números naturales $a,b,c$ y $d$ existen infinitos números naturales $n$ tales que $a^n+b^n+c^n+d^n$ es compuesto.

4 Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$ de $\triangle ABC$ . Sea $D$ un punto tal que $AD=AB$ , $AD\perp AB$ y los puntos $C$ y $D$ están en lados diferentes de $AB$ . Demuestre que: $$\sqrt{AB\cdot AC+BC\cdot AM}\geq\frac{\sqrt{2}}{2}CD.$$

1 Hay $9$ puntos en el plano cartesiano con coordenadas $(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2).$ Algunos puntos están coloreados de rojo y los demás de azul. Demuestre que para cualquier coloración de los puntos siempre podemos encontrar un triángulo rectángulo isósceles cuyos vértices tengan el mismo color.

2 ¿Existe un número natural $n$ tal que $n!$ termina exactamente en $2021$ ceros?

3 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos tales que $a^5+b^5+c^5=ab^2+bc^2+ca^2$ . Demuestre la desigualdad: $$\frac{a^2+b^2}{b}+\frac{b^2+c^2}{c}+\frac{c^2+a^2}{a}\geq 2(ab+bc+ca).$$