1 Se dan números reales positivos $a, b, c$ y $d$ tales que $a+b+c+d = 4$ . Demuestre que $$\frac{ab}{a^2-\frac{4}{3}a+\frac{4}{3}} + \frac{bc}{b^2-\frac{4}{3}b+ \frac{4}{3}} + \frac{cd}{c^2-\frac{4}{3}c+ \frac{4}{3}} + \frac{da}{d^2-\frac{4}{3}d+ \frac{4}{3}}\leq 4.$$

2 Si $a, b, c$ y $d$ son números complejos no nulos tales que $$2|a-b|\leq |b|, 2|b-c|\leq |c|, 2|c-d| \leq |d| , 2|d-a|\leq |a|.$$ Demuestre que $$\frac{7}{2} <\left| \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c} + \frac{a}{d} \right| .$$

3 Se dan un polinomio $P$ con coeficientes reales no negativos y una función $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ tales que para todo $x, y\in \mathbb{R}^+$ tenemos $$f(x+P(x)f(y)) = (y+1)f(x)$$ (a) Demuestre que $P$ tiene grado a lo sumo 1. (b) Halle todas las funciones $f$ y los polinomios no constantes $P$ que satisfacen la igualdad.

1 Para un número natural $n$ , $f(n)$ se define como el número de enteros positivos menores que $n$ que no son coprimos con $n$ ni divisores de él. Demuestre que para cada entero positivo $k$ existen solo finitamente muchos $n$ que satisfacen $f(n) = k$ .

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que para cualesquiera dos enteros positivos $a$ y $b$ tenemos $$ f^a(b) + f^b(a) \mid 2(f(ab) +b^2 -1)$$ Donde $f^n(m)$ se define de la manera iterativa estándar.

3 $x_1$ es una constante natural. Demuestre que no existe ningún número natural $m> 2500$ tal que la sucesión recursiva $\{x_i\} _{i=1} ^ \infty $ definida por $x_{n+1} = x_n^{s(n)} + 1$ se vuelva eventualmente periódica módulo $m$ . (Es decir, no existen números naturales $N$ y $T$ tales que para cada $n\geq N$ , $m\mid x_n - x_{n+T}$ ) . ( $s(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ . )

1 ¿Es posible disponer los números naturales del 1 al 8 en los vértices de un cubo de modo que cada número divida a la suma de los tres números que comparten una arista con él?

2 Dado un triángulo acutángulo $ABC$ , sea $AD$ una altura y $H$ el ortocentro. Sea $E$ la reflexión de $H$ respecto a $A$ . El punto $X$ se elige sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $BDE$ tal que $AC\| DX$ y el punto $Y$ se elige sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $CDE$ tal que $DY\| AB$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ es tangente a la de $ABC$ .

3 Halle todas las funciones $f: \mathbb{Q}[x] \to \mathbb{R}$ tales que: (a) para todo $P, Q \in \mathbb{Q}[x]$ , $f(P \circ Q) = f(Q \circ P);$ (b) para todo $P, Q \in \mathbb{Q}[x]$ con $PQ \neq 0$ , $f(P\cdot Q) = f(P) + f(Q).$ ( $P \circ Q$ indica $P(Q(x))$ . )

4 Arash y Babak juegan el siguiente juego, turnándose alternadamente, sobre una mesa $1400\times 1401$ . Arash comienza y en sus turnos colorea $k$ , $L$ - esquinas (cualesquiera tres celdas de un cuadrado). Babak en su turno colorea un cuadrado $2\times 2$ . A ningún jugador se le permite recolorear ninguna celda. Halle todos los enteros positivos $k$ para los cuales Arash tiene una estrategia ganadora.