La circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ toca a $BC$, $AC$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$ respectivamente. Denota los pies de las perpendiculares desde $F, E$ a $BC$ por $K, L$ respectivamente. Sea la segunda intersección de estas perpendiculares con la circunferencia inscrita $M, N$ respectivamente. Demuestra que $\frac{{{S}_{\triangle BMD}}}{{{S}_{\triangle CND}}}=\frac{DK}{DL}$ por Mahdi Etesami Fard

Cada uno de Mahdi y Morteza ha dibujado un $93$-ágono inscrito. Denota el primero por $A_1A_2…A_{93}$ y el segundo por $B_1B_2…B_{93}$. Se sabe que $A_iA_{i+1} // B_iB_{i+1}$ para $1 \le i \le 93$ (con $A_{93} = A_1, B_{93} = B_1$). Demuestra que $\frac{A_iA_{i+1} }{ B_iB_{i+1}}$ es una constante independiente de $i$. por Morteza Saghafian

En un triángulo \(ABC\) tenemos \(\angle C = \angle A + 90^o\). El punto \(D\) en la prolongación de \(BC\) se da tal que \(AC = AD\). Un punto \(E\) en el lado de \(BC\) en el que \(A\) no se encuentra se elige tal que \(\angle EBC = \angle A\), \(\angle EDC = \frac{1}{2} \angle A\). Demuestra que \(\angle CED = \angle ABC\). por Morteza Saghafian

Dos puntos \(X, Y\) yacen sobre el arco \(BC\) de la circunferencia circunscrita de \(\triangle ABC\) (este arco no contiene a \(A\)) tales que \(\angle BAX = \angle CAY\). Sea \(M\) el punto medio de la cuerda \(AX\). Demuestra que \(BM + CM > AY\). por Mahan Tajrobekar

3 Un tetraedro regular de altura \(h\) tiene un tetraedro de altura \(xh\) cortado por un plano paralelo a la base. Cuando el tronco restante se coloca sobre una de sus caras laterales sobre un plano horizontal, está justo a punto de volcarse. (En otras palabras, cuando el tronco restante se coloca sobre una de sus caras laterales sobre un plano horizontal, la proyección del centro de gravedad G del tronco es un punto de la base menor de esta cara lateral.) Demuestra que \(x\) es una raíz de la ecuación \(x^3 + x^2 + x = 2\).

1 Un polinomio mediterráneo tiene solo raíces reales y es de la forma \[ P(x) = x^{10}-20x^9+135x^8+a_7x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \] con coeficientes reales $a_0\ldots,a_7$ . Determina el mayor número real que ocurre como raíz de algún polinomio mediterráneo. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

4 Sea $D$ el pie de la bisectriz interna del ángulo $\angle A$ del triángulo $ABC$. La recta que une los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ corta a $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Demuestra que $BN$ y $CM$ se cortan sobre la bisectriz $AD$.

1 Para un entero positivo dado \( n \), determina el menor entero \( k \) tal que sea posible colocar los números \( 1,2,3,\dots, 2n \) alrededor de un círculo de modo que la suma de cada \( n \) números consecutivos tome uno de a lo más \( k \) valores.

2 Cuatro puntos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) yacen sobre un semicírculo \(\omega\) en este orden con diámetro \(AD\), y \(AD\) no es paralelo a \(BC\). Los puntos \(X\) y \(Y\) yacen sobre los segmentos \(AC\) y \(BD\) respectivamente, tales que \(BX\parallel AD\) y \(CY\perp AD\). Un círculo \(\Gamma\) pasa por \(D\) y \(Y\), es tangente a \(AD\), e interseca a \(\omega\) nuevamente en \(Z\neq D\). Demuestra que las rectas \(AZ\), \(BC\) y \(XY\) son concurrentes.

3 Sea $S$ un subconjunto no vacío de puntos del plano cartesiano tal que para cada $x\in S$ exactamente uno de $x+(0,1)$ o $x+(1,0)$ también pertenece a $S$. Demuestra que para cada entero positivo $k$ existe una recta en el plano (posiblemente rectas distintas para distintos $k$) que contiene al menos $k$ puntos de $S$.