7 Halle todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{C}$ tales que $f(x(2y+1))=f(x(y+1))+f(x)f(y)$ se cumple para cualesquiera dos enteros $x,y$ .

1 Encuentre un ejemplo de tres enteros positivos $a,b,c$ que satisfacen $31a+30b+28c=365$ . Demuestre que cualquier terna $a,b,c$ que satisfaga la condición anterior también satisface $a+b+c=12$ .

2 Se da un triángulo cuyas alturas tienen longitudes $\frac{1}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{8}$ . Evalúe el área del triángulo.

3 Demuestre que el número $\left(\frac{76}{\frac{1}{\sqrt[3]{77}-\sqrt[3]{75}}-\sqrt[3]{5775}}+\frac{1}{\frac{76}{\sqrt[3]{77}+\sqrt[3]{75}}+\sqrt[3]{5775}}\right)^3$ es un entero.

4 Sean $k,m,n$ enteros positivos tales que $n^m$ es divisible por $m^n$ , y $m^k$ es divisible por $k^m$ . Demuestre que $n^k$ es divisible por $k^n$ . Encuentre un ejemplo de $k,m,n$ que satisfaga las condiciones anteriores, donde los tres números sean distintos y mayores que 1.

5 Sea $ABCD$ un tetraedro. Denótese por $S_1$ la esfera inscrita en él, que es tangente a las cuatro caras. Denótese por $S_2$ la esfera exinscrita exterior a $ABC$ , tangente a la cara $ABC$ y a los planos que contienen a las caras $ABD,ACD,BCD$ . Sea $K$ el punto de tangencia de $S_1$ con la cara $ABC$ , y sea $L$ el punto de tangencia de $S_2$ con la cara $ABC$ . Sea $T$ el pie de la perpendicular desde $D$ a la cara $ABC$ . Demuestre que $L,T,K$ están sobre una misma recta.

6 Sea $n\geq1$ un entero positivo. $n$ lámparas están colocadas en una fila. En el minuto 0, algunas lámparas están encendidas (quizás todas). Cada minuto el estado de las lámparas cambia: una lámpara está encendida en el minuto $t+1$ si y solo si en el minuto $t$ exactamente uno de sus vecinos está encendido (las dos lámparas de los extremos tienen un vecino cada una, todas las demás lámparas tienen dos vecinos). ¿Para qué valores de $n$ podemos garantizar que todas las lámparas estarán apagadas después de algún tiempo?

7 La sucesión de Fibonacci $F_n$ se define por $F_0=0,F_1=1$ y la relación de recurrencia $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ para todos los enteros $n\geq2$ . Sea $p\geq3$ un número primo. Demuestre que $F_{p-1}+F_{p+1}-1$ es divisible por $p$ . Demuestre que $F_{p^{k+1}-1}+F_{p^{k+1}+1}-\left(F_{p^k-1}+F_{p^k+1}\right)$ es divisible por $p^{k+1}$ para cualquier entero positivo $k$ .

1 Considere el número $\left(101^2-100^2\right)\cdot\left(102^2-101^2\right)\cdot\left(103^2-102^2\right)\cdot...\cdot\left(200^2-199^2\right)$ . Determine su cifra de las unidades. Determine su cifra de las decenas.

2 Sean $\Delta A_1A_2A_3, \Delta B_1B_2B_3, \Delta C_1C_2C_3$ tres triángulos equiláteros. Los vértices de cada triángulo están numerados en el sentido de las agujas del reloj. Se da que $A_3=B_3=C_3$ . Sea $M$ el centro de masa de $\Delta A_1B_1C_1$ , y sea $N$ el centro de masa de $\Delta A_2B_2C_2$ . Demuestre que $\Delta A_3MN$ es un triángulo equilátero.