3 Sean $l,m$ dos rectas paralelas en el plano. Sea $P$ un punto fijo entre ellas. Sean $E,F$ puntos variables sobre $l,m$ tales que el ángulo $EPF$ es fijo e igual a un número $\alpha$ con $0<\alpha<\frac{\pi}2$ . (Por ángulo $EPF$ nos referimos al ángulo dirigido) Demuestre que existe otro punto (distinto de $P$ ) desde el cual el segmento $EF$ se ve también bajo un ángulo fijo. Nima Ahmadi

5 Sea $ABC$ un triángulo tal que el radio de su circunferencia circunscrita es igual al radio de la circunferencia exinscrita con respecto a $A$ . Suponga que la circunferencia exinscrita con respecto a $A$ toca a $BC,AC,AB$ en $M,N,L$ . Demuestre que $O$ (centro de la circunferencia circunscrita) es el ortocentro de $MNL$ . Nima Ahmadi

2 Suponga que se dispone de $n$ monedas cuya masa es desconocida. Tenemos una balanza de dos platillos y cada vez podemos elegir un número par de monedas, poner la mitad de ellas en un platillo de la balanza y la otra mitad en el otro platillo; de este modo se realiza una comparación. Nuestro objetivo es determinar si la masa de todas las monedas es igual o no. Demuestre que se requieren al menos $n-1$ comparaciones. Ramtin

4 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales. Demuestre que \[ \sum_{i,j=1}^n |x_i+x_j|\geq n\sum_{i=1}^n |x_i| \] Nima Ahmadi

2 Sea $n$ un número natural fijo. a) Encuentre todas las soluciones de la siguiente ecuación : \[ \sum_{k=1}^n [\frac x{2^k}]=x-1 \] b) Encuentre el número de soluciones de la siguiente ecuación ( $m$ es un natural fijo) : \[ \sum_{k=1}^n [\frac x{2^k}]=x-m \] Nima Ahmadi

6 Supongamos que tenemos un polígono simple (es decir, que no se interseca a sí mismo, aunque no es necesariamente convexo). Demuestre que este polígono tiene una diagonal que está completamente dentro del polígono y que los dos arcos que esta crea en el perímetro del polígono (los dos arcos tienen 2 vértices en común) contienen ambos al menos un tercio de los vértices del polígono. Nima Ahmadi

1 Suponga que $ a_1$ , $ a_2$ , ..., $ a_n$ son números reales positivos tales que $ a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$ . Sea \[ {{a_1 + a_2 + \dots + a_n} \over n} = m; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2} \over n} = 1. \] Suponga que, para algún $ i$ , sabemos que $ a_i \leq m$ . Demuestre que: \[ n - i \geq n \left(m - a_i\right)^2 \] Omid

2 Suponga que $ABC$ es un triángulo isósceles con $AB=AC$ . Suponga que $P$ es un punto sobre la prolongación del lado $BC$ . $X$ e $Y$ son puntos sobre $AB$ y $AC$ tales que: \[PX || AC \ , \ PY ||AB \] Además, $T$ es el punto medio del arco $BC$ . Demuestre que $PT \perp XY$ Omid

3 Suponga que hay 18 faros en el golfo Pérsico. Cada uno de los faros ilumina un ángulo de 20 grados. Demuestre que podemos elegir las direcciones de los faros de modo que todo el golfo Pérsico quede iluminado. Omid

1 Halle todas las funciones $f : N \longmapsto N$ para las cuales existen $k \in N$ y un primo $p$ tales que: $\forall n \geq k \ f(n+p)=f(n)$ y además, si $m \mid n$ entonces $f(m+1) \mid f(n)+1$ Omid