3 Las alturas $ A {{A} _ {1}} $ , $ B {{B} _ {1}} $ y $ C {{C} _ {1}} $ se trazan en el triángulo acutángulo $ ABC $ . A la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC $ se le trazan las tangentes en los puntos $ A $ y $ C $ , que se intersecan en el punto $ Q $ . Una recta que pasa por el punto medio del lado $ AC $ y por el ortocentro del triángulo $ ABC $ interseca a la recta $ {{A}_{1}} {{C} _ {1}} $ en el punto $ F $ . Demuestre que los puntos $ Q $ , $ {{B} _ {1}} $ y $ F $ están sobre la misma recta.

4 Resuelva la ecuación $x^{x}=y^{3y}$ en números naturales.

2 Sea $X_r=x^r+y^r+z^r$ con $x,y,z$ reales. Se sabe que si $S_1=0$, \[(*)\quad\frac{S_{m+n}}{m+n}=\frac{S_m}{m}\frac{S_n}{n}\] para $(m,n)=(2,3),(3,2),(2,5)$, o $(5,2)$. Determina todos los otros pares de enteros $(m,n)$, si los hay, para los cuales $(*)$ se cumple para todos los números reales $x,y,z$ tales que $x+y+z=0$.

3 Si un punto \(A_1\) está en el interior de un triángulo equilátero \(ABC\) y el punto \(A_2\) está en el interior de \(\triangle{A_1BC}\), demuestra que \[\operatorname{I.Q.} (A_1BC) > \operatorname{I.Q.} (A_2BC),\] donde el cociente isoperimétrico de una figura \(F\) se define por \[\operatorname{I.Q.}(F) = \frac{\operatorname{Area}(F)}{[\operatorname{Perimeter}(F)]^2}.\]

4 Demuestra que existe un entero positivo $k$ tal que $k\cdot2^n+1$ es compuesto para todo entero $n$.

5 $A,B$ y $C$ son tres puntos interiores de una esfera $S$ tales que $AB$ y $AC$ son perpendiculares al diámetro de $S$ que pasa por $A$, y de modo que se pueden construir dos esferas que pasan por $A$, $B$ y $C$, ambas tangentes a $S$. Demuestra que la suma de sus radios es igual al radio de $S$.

1 La medida de un ángulo dado es $\frac{180^{\circ}}{n}$ donde $n$ es un entero positivo no divisible por $3$. Demuestra que el ángulo puede ser trisecado por medios euclidianos (regla y compás).

2 Cada par de comunidades en un condado están conectadas directamente por un modo de transporte: autobús, tren o avión. Los tres métodos de transporte se usan en el condado, ninguna comunidad recibe servicio de los tres modos y no hay tres comunidades que estén conectadas por pares mediante el mismo modo. Determina el mayor número de comunidades en este condado.

3 Si \(A,B,C\) son los ángulos de un triángulo, demuestra que \[-2 \le \sin{3A}+\sin{3B}+\sin{3C} \le \frac{3\sqrt{3}}{2}\] y determina cuándo se da la igualdad.

4 La suma de las medidas de todos los ángulos de las caras de un ángulo poliedral complejo dado es igual a la suma de todos sus ángulos diedros. Demuestra que el ángulo poliedral es un ángulo triedro. $\mathbf{Nota:}$ Un ángulo poliedral convexo puede formarse trazando rayos desde un punto exterior a todos los puntos de un polígono convexo.