1 Halle todos los pares de enteros no negativos $(x,y)$ tales que \[\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0.\]

2 Sean $a,b\in\mathbb{R}_+$ tales que $a+b=1$ . Halle el valor mínimo de la siguiente expresión: \[E(a,b)=3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}.\]

3 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo y $AD$ la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ con $D\in(BC)$ . Sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$ a $AB$ y $AC$ , respectivamente. Si $BF\cap CE=K$ y $\odot AKE\cap BF=L$ , demuestre que $DL\perp BF$ .

4 Defina $p(n)$ como el producto de todos los dígitos no nulos de $n$ . Por ejemplo, $p(5)=5$ , $p(27)=14$ , $p(101)=1$ y así sucesivamente. Halle el mayor divisor primo de la siguiente expresión: \[p(1)+p(2)+p(3)+...+p(999).\]

1 Considere $n \geq 2 $ números positivos $0<x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$ , tales que $x_1 + x_2 + ... + x_n = 1$ . Demuestre que si $x_n \leq \dfrac{2}{3}$ , entonces existe un entero positivo $1 \leq k \leq n$ tal que $\dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+...+x_k < \dfrac{2}{3}$ .

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$ . Determine el valor mínimo de $E(a,b,c) = \sum \dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)}$ .

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Las bisectrices de los ángulos $BAD$ y $BCD$ se intersecan en el punto $K$ tal que $K \in BD$ . Sea $M$ el punto medio de $BD$ . Una recta que pasa por el punto $C$ y es paralela a $AD$ interseca a $AM$ en el punto $P$ . Demuestre que el triángulo $\triangle DPC$ es isósceles.

4 Considere $n \geq 2$ puntos distintos en el plano $A_1,A_2,...,A_n$ . Coloree de rojo los puntos medios de los segmentos determinados por cada par de puntos. ¿Cuál es el número mínimo de puntos rojos distintos?

1 Demuestre que no existen $4$ puntos en el plano tales que las distancias entre cualquier par de ellos sean un entero impar.

2 Halle todas las funciones $f:R \rightarrow R$ que satisfacen la igualdad para cualesquiera $x,y \in R$ : $f(xf(y)+y)+f(xy+x)=f(x+y)+2xy$ ,