23 Sean $I$ y $J$ los centros de la circunferencia inscrita y de la circunferencia exinscrita en el ángulo $BAC$ del triángulo $ABC$. Para cualquier punto $M$ en el plano del triángulo, que no esté sobre la recta $BC$, denote por $I_M$ y $J_M$ los centros de la circunferencia inscrita y de la circunferencia exinscrita (tangente a $BC$) del triángulo $BCM$. Halle el lugar geométrico de los puntos $M$ para los cuales $II_MJJ_M$ es un rectángulo. Amir

24 Se dan en el plano dos familias de rectas paralelas, que constan de $15$ y $11$ rectas, respectivamente. En cada familia, cualesquiera dos rectas vecinas están a distancia unidad entre sí; las rectas de la primera familia son perpendiculares a las rectas de la segunda familia. Sea $V$ el conjunto de los $165$ puntos de intersección de las rectas en cuestión. Muestre que existen no menos de $1986$ cuadrados distintos con vértices en el conjunto $V .$ Amir

25 Sean los números reales $x_1, x_2, \cdots , x_n$ que satisfacen $0 < x_1 < x_2 < \cdots< x_n < 1$ y ponga $x_0 = 0, x_{n+1} = 1$. Suponga que estos números satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[\sum_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{x_i-x_j}=0 \quad \text{where } i = 1, 2, . . ., n.\] Demuestre que $x_{n+1-i} = 1- x_i$ para $i = 1, 2, . . . , n.$ Amir

G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ . Sea $D$ el pie de la altura trazada desde $A$ a $BC$ y sea $M$ el punto medio de $OD$ . Los puntos $O_b$ y $O_c$ son los circuncentros de los triángulos $AOC$ y $AOB$ , respectivamente. Si $AO=AD$ , demuestre que los puntos $A$ , $O_b$ , $M$ y $O_c$ son concíclicos. Marin Hristov y Bozhidar Dimitrov, Bulgaria

26 Sea $d$ cualquier entero positivo distinto de $2, 5$ o $13$. Muestre que se pueden hallar $a,b$ distintos en el conjunto $\{2,5,13,d\}$ tales que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.

27 En una urna hay n bolas numeradas $1, 2, \cdots, n$. Se extraen al azar una a una sin reemplazo y se registran los números. ¿Cuál es la probabilidad de que la permutación aleatoria resultante tenga solo un máximo local? Un término de una sucesión es un máximo local si es mayor que todos sus vecinos. Amir

28 Una partícula se mueve de $(0, 0)$ a $(n, n)$ guiada por una moneda equilibrada. Por cada cara se mueve un paso hacia el este y por cada cruz se mueve un paso hacia el norte. En $(n, y), y < n$, permanece allí si sale cara, y en $(x, n), x < n$, permanece allí si sale cruz. Sea $ k$ un entero positivo fijo. Halle la probabilidad de que la partícula necesite exactamente $2n+k$ lanzamientos para llegar a $(n, n).$ Amir

31 Sean $P$ y $Q$ puntos distintos en el plano de un triángulo $ABC$ tales que $AP : AQ = BP : BQ = CP : CQ$. Demuestre que la recta $PQ$ pasa por el circuncentro del triángulo. Amir

30 Demuestre que un poliedro convexo cuyas caras son todas triángulos equiláteros tiene a lo sumo $30$ aristas. Amir

35 Determine los valores máximo y mínimo que puede tener la suma $|a| + |b| + |c|$ si $a, b, c$ son números reales tales que el valor máximo de $|ax^2 + bx + c|$ es $1$ para $-1 \leq x \leq 1.$ Amir