Sea $n$ un entero positivo par. Escribe los números $1, 2, \cdots, n^2$ en las casillas de una cuadrícula de $n \times n$ de modo que la fila $k$-ésima, de izquierda a derecha, sea \[ (k-1)n + 1, \ (k-1)n + 2, \ \cdots, \ (k-1)n + n. \] Colorea las casillas de la cuadrícula de manera que la mitad de las casillas en cada fila y en cada columna sean rojas y la otra mitad sean negras (un coloreado de tablero de ajedrez es una posibilidad). Demuestra que para cada coloreado, la suma de los números en las casillas rojas es igual a la suma de los números en las casillas negras.

Para cada $k$, $\mathcal{C}_k$ está sesgada de modo que, al lanzarla, tiene probabilidad $\tfrac{1}{(2k+1)}$ de caer en cara. Si se lanzan las $n$ monedas, ¿cuál es la probabilidad de que el número de caras sea impar? Expresa la respuesta como una función racional de $n$.

3 Para cualquier entero positivo $n$, sea $ \left< n \right> $ el entero más cercano a $ \sqrt {n} $ . Evalúa: \[ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac {2^{\left< n \right>} + 2^{- \left< n \right>}}{2^n} \]

4 El triángulo $ABC$ tiene área $1$. Los puntos $E$, $F$ y $G$ están, respectivamente, en los lados $BC$, $CA$ y $AB$ de modo que $AE$ biseca a $BF$ en el punto $R$, $BF$ biseca a $CG$ en el punto $S$, y $CG$ biseca a $AE$ en el punto $T$. Encuentra el área del triángulo $RST$.

5 Sean $a$ y $b$ números reales en el intervalo $\left(0,\tfrac{1}{2}\right)$, y sea $g$ una función continua con valores reales tal que $g(g(x))=ag(x)+bx$ para todo $x$ real. Demuestra que $g(x)=cx$ para alguna constante $c$.

6. Supón que $(a_n)_{n \ge 1}$ es una sucesión creciente de números reales positivos tal que $\lim \tfrac{a_n}{n}=0$. ¿Debe existir una infinidad de enteros positivos $n$ tales que $a_{n-i}+a_{n+i}<2a_n$ para $i=1,2,\cdots,n-1$?

2 Demuestra que existen infinitos enteros $n$ tales que $n$ , $n+1$ , $n+2$ son cada uno la suma de los cuadrados de dos enteros. [Ejemplo: $0=0^2+0^2$ , $1=0^2+1^2$ , $2=1^2+1^2$ . ]

3 Sea \( f(t) = \displaystyle\sum_{j=1}^{N} a_j \sin (2\pi jt) \), donde cada \( a_j \) es real y \( a_N \neq 0 \). Sea \( N_k \) el número de ceros (incluyendo multiplicidades) de \( \dfrac{d^k f}{dt^k} \). Demuestra que \[ N_0 \le N_1 \le N_2 \le \cdots \quad \text{y} \quad \lim_{k \rightarrow \infty} N_k = 2N. \] [Solo deben contarse los ceros en \([0, 1)\).]

4 Demuestra que la integral impropia \[ \lim_{B \rightarrow \infty} \displaystyle\int_{0}^{B} \sin (x) \sin (x^2) dx \] converge.

5 Sea $S_0$ un conjunto finito de enteros positivos. Definimos conjuntos finitos $S_1, S_2, \cdots$ de enteros positivos de la siguiente manera: el entero $a$ está en $S_{n+1}$ si y solo si exactamente uno de $a-1$ o $a$ está en $S_n$. Demuestra que existen infinitos enteros $N$ para los cuales $S_N = S_0 \cup \{ N + a: a \in S_0 \}$.