3 Sean $n>k \geq 1$ enteros y sea $p$ un primo que divide a $\tbinom{n}{k}$ . Demuestre que los subconjuntos de $k$ elementos de $\{1,\ldots,n\}$ pueden dividirse en $p$ clases del mismo tamaño, de modo que cualesquiera dos subconjuntos con la misma suma de elementos pertenezcan a la misma clase. Ankan Bhattacharya

4 Halle todos los enteros $n \geq 2$ para los cuales existe una sucesión de $2n$ puntos dos a dos distintos $(P_1, \dots, P_n, Q_1, \dots, Q_n)$ en el plano que satisface las siguientes cuatro condiciones: no hay tres de los $2n$ puntos colineales; $P_iP_{i+1} \ge 1$ para todo $i = 1, 2, \dots ,n$ , donde $P_{n+1}=P_1$ ; $Q_iQ_{i+1} \ge 1$ para todo $i = 1, 2, \dots, n$ , donde $Q_{n+1} = Q_1$ ; y $P_iQ_j \le 1$ para todo $i = 1, 2, \dots, n$ y $j = 1, 2, \dots, n$ . Ray Li

10.5 En un triángulo $ABC$ , sea $BD$ su altura y sea $H$ su ortocentro. La mediatriz de $HD$ corta a $(BCD)$ en $P, Q$ . Demuestre que $\angle APB+\angle AQB=180^{o}$

2 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . El segmento $AI$ interseca a la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ en el punto $D$ . Suponga que la recta $BD$ es perpendicular a la recta $AC$ . Sea $P$ un punto tal que $\angle BPA = \angle PAI = 90^\circ$ . El punto $Q$ se encuentra sobre el segmento $BD$ de modo que la circunferencia circunscrita del triángulo $ABQ$ es tangente a la recta $BI$ . El punto $X$ se encuentra sobre la recta $PQ$ de modo que $\angle IAX = \angle XAC$ . Demuestre que $\angle AXP = 45^\circ$ . Luke Robitaille

11.2 Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ y un punto $E$ que está sobre el segmento $DA$ tal que $2\angle EBD = \angle ABC$ . Demuestre que $DE= \frac {AC.BD}{AB+BC}$ .

6 Para un entero positivo $n$ y números reales $a_1, a_2, \dots ,a_n$ definimos $b_1, b_2, \dots ,b_{n+1}$ tales que $b_k=a_k+\max({a_{k+1},a_{k+2}})$ para todo $1\leq k \leq n$ y $b_{n+1}=b_1$ . (También $a_{n+1}=a_1$ y $a_{n+2}=a_2$ ) Halle el menor valor posible de $\lambda$ tal que para todo $n, a_1, \dots, a_n$ se cumpla la desigualdad $$\lambda \Biggl[ \sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1})^{2024} \Biggr] \geq \sum_{i=1}^n(b_i-b_{i+1})^{2024}$$ .

10.6 Igual que 9.6

5 En un triángulo escaleno $ABC$ , $H$ es el ortocentro y $G$ es el baricentro. Sean $A_b$ y $A_c$ puntos sobre $AB$ y $AC$ , respectivamente, tales que $B$ , $C$ , $A_b$ , $A_c$ son concíclicos y los puntos $A_b$ , $A_c$ , $H$ son colineales. $O_a$ es el circuncentro del triángulo $AA_bA_c$ . $O_b$ y $O_c$ se definen de manera análoga. Demuestre que el baricentro del triángulo $O_aO_bO_c$ está sobre la recta $HG$ .

4 Halle todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que, $$\frac{10^{a!} - 3^b +1}{2^a}$$ es un cuadrado perfecto.

Sea $r > 0$ un número real. Todos los puntos interiores del disco $D(r)$ de radio $r$ se colorean con uno de dos colores, rojo o azul. Si $r > \frac{\pi}{\sqrt{3}}$ , demuestre que podemos encontrar dos puntos $A$ y $B$ en el interior del disco tales que $AB = \pi$ y $A,B$ tienen el mismo color. ¿Se cumple la conclusión de (a) si $r > \frac{\pi}{2}$ ? Propuesto por S Muralidharan