Cree una cuadrícula de $2024$ por $2024$ de enteros numerados desde $1$ hasta $2024^2$ tal que el entero en la fila $n$ y la columna $k$ sea $2024(n-1)+k$ . Sea la suma de los números de la cuadrícula $S$ . Arthur elige 2024 números tales que su suma sea $\dfrac{S}{2024}$ . Demuestre que en todo caso, usando los números restantes, Bob puede crear 2023 conjuntos de 2024 números con sumas iguales. Para aclarar, todos los números solo pueden usarse una vez.

1 ¿Existe un $x_1$ racional tal que todos los miembros de la sucesión $x_1, x_2, \ldots, x_{2024}$ definida por $x_{n+1}=x_n+\sqrt{x_n^2-1}$ para $n=1, 2, \ldots, 2023$ sean mayores que $1$ y racionales?

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC=\angle ADC=120^{\circ}$ . El punto $E$ está en el segmento $AD$ y es tal que $AE \cdot BC=AB \cdot DE$ y, de manera similar, el punto $F$ está en el segmento $BC$ y satisface $BF \cdot CD=AD \cdot CF$ . Demuestre que $BE$ y $DF$ son paralelas.

3 Sea $n \geq 2$ un entero positivo. Hay $2n$ ciudades $M_1, M_2, \ldots, M_{2n}$ en el país de Mathlandia. Actualmente solo hay caminos entre $M_1$ y $M_2, M_3, \ldots, M_n$ y el rey quiere construir más caminos de modo que sea posible llegar a cualquier ciudad desde cualquier otra. El costo de construir un camino entre $M_i$ y $M_j$ es $k_{i, j}>0$ . Sea $$K=\sum_{j=n+1}^{2n} k_{1,j}+\sum_{2 \leq i<j \leq 2n} k_{i, j}.$$ Demuestre que el rey puede llevar a cabo su plan con un costo no mayor que $\frac{2K}{3n-1}$ .

4 Sea $n$ un entero positivo. Un hexágono regular $ABCDEF$ de lado $n$ está particionado en $6n^2$ triángulos equiláteros de lado $1$ . El hexágono está cubierto por $3n^2$ rombos con ángulos internos $60^{\circ}$ y $120^{\circ}$ tales que cada rombo cubre exactamente dos triángulos y cada triángulo está cubierto por exactamente un rombo. Demuestre que la diagonal $AD$ divide por la mitad exactamente $n$ rombos.

5 Los reales positivos $a, b, c, x, y, z$ satisfacen $$5a+4b+3c=5x+4y+3z.$$ Demuestre que $$\frac{a^5}{x^4}+\frac{b^4}{y^3}+\frac{c^3}{z^2} \geq x+y+z.$$ Propuesto por Dominik Burek

6 Dado un número primo $p$ . Demuestre que el número $$p \cdot (p^2 \cdot \frac{p^{p-1}-1}{p-1})!$$ es divisible por $$\prod_{i=1}^{p}(p^i)!.$$

1 Sea $X$ un punto interior de un rectángulo $ABCD$ . Las bisectrices de $\angle DAX$ y $\angle CBX$ se intersecan en $P$ . Un punto $Q$ satisface $\angle QAP=\angle QBP=90^\circ$ . Demuestre que $PX=QX$ .

2 Sea $n$ un entero positivo. Bolek dibuja $2n$ puntos en el plano, sin que dos de ellos definan una recta vertical u horizontal. Luego Lolek dibuja para cada uno de estos $2n$ puntos dos rayos que parten de ellos, uno vertical y el otro horizontal. Lolek quiere maximizar el número de regiones en las que estos rayos dividen el plano. Determine el mayor número $k$ tal que Lolek puede obtener al menos $k$ regiones independientemente de los puntos elegidos por Bolek.

3 Determine todos los pares $(p,q)$ de números primos con la siguiente propiedad: existen enteros positivos $a,b,c$ que satisfacen \[\frac{p}{a}+\frac{p}{b}+\frac{p}{c}=1 \quad \text{and} \quad \frac{a}{p}+\frac{b}{p}+\frac{c}{p}=q+1.\]