Los números reales no nulos $a,b,c,d,e,f,k,m$ satisfacen las ecuaciones \[\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=k\] \[\frac{b}{c}+\frac{d}{e}+\frac{f}{a}=m\] \[ad=be=cf\] Exprese $\frac{a}{c}+\frac{c}{e}+\frac{e}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{f}+\frac{f}{b}$ en términos de $m$ y $k$ .

Sea $w$ una circunferencia de diámetro $5$ . Se trazaron cuatro rectas que dividen a $w$ en $5$ «franjas», cada una de ancho $1$ . Las franjas se colorearon alternadamente de naranja y púrpura, como se muestra en la figura. ¿Qué área es mayor: la naranja o la púrpura?

Halle todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros para las cuales la ecuación \[x^3-a^2x^2+b^2x-ab+3c=0\] tiene tres raíces enteras distintas $x_1,x_2,x_3$ que son coprimas dos a dos.

Un cuadrilátero convexo de papel se llamará plegable si existen puntos $P,Q,R,S$ en el interior de los segmentos $AB,BC,CD,DA$ respectivamente, tales que si plegamos los triángulos $SAP, PBQ, QCR, RDS$ , estos cubren exactamente el cuadrilátero $PQRS$ . En otras palabras, si los triángulos plegados cubren el cuadrilátero $PQRS$ pero no se cubren entre sí. Demuestre que si el cuadrilátero $ABCD$ es plegable, entonces $AC\perp BD$ o $ABCD$ es un trapecio.

Sean $x,y,z$ números reales no negativos. Demuestre que: \[\sqrt{(2x+y)(2x+z)}+\sqrt{(2y+x)(2y+z)}+\sqrt{(2z+x)(2z+y)}\geq \] \[\geq \sqrt{(x+2y)(x+2z)}+\sqrt{(y+2x)(y+2z)}+\sqrt{(z+2x)(z+2y)}.\]

15 Halle el número de 7-tuplas ordenadas $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_7)$ que satisfacen las siguientes propiedades: $a_k \in \{1,2,3\}$ para todo $k.$ $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7$ es múltiplo de $3.$ $a_1a_2 a_4 + a_2a_3a_5 + a_3a_4 a_6 + a_4 a_5 a_7 + a_5 a_6 a_1 + a_6 a_7 a_2 + a_7 a_1 a_3$ es múltiplo de $3.$

¿Existe una sucesión infinita de primos $p_1, p_2, p_3, \dots $ para la cual, \[p_{n+1}=2p_n+1\] para cada $n$ ?

1 Se dan siete monedas de aspecto idéntico, de las cuales cuatro son auténticas y tres son falsas. Las tres monedas falsas tienen el mismo peso, y las cuatro monedas auténticas tienen el mismo peso. Se sabe que una moneda falsa pesa menos que una auténtica. En una pesada, se pueden seleccionar dos conjuntos de monedas y comprobar qué conjunto tiene menor peso total, o si tienen pesos iguales. ¿Cuántas pesadas se necesitan para identificar una moneda falsa?

A Danny le gustan los números de siete cifras con la siguiente propiedad: la cifra de las unidades es divisible por la cifra de las decenas, la cifra de las decenas es divisible por la cifra de las centenas, y así sucesivamente. Por ejemplo, a Danny le gusta el número $1133366$ pero no le gusta $9999993$ . ¿Es la cantidad de números que le gustan a Danny divisible por $7$ ?

Sophie escribió en un trozo de papel todos los números enteros del 1 al 1000 en notación decimal (incluyendo ambos extremos). a) ¿Qué dígito escribió Sophie con mayor frecuencia? b) ¿Qué dígito escribió Sophie con menor frecuencia?