4 En el plano cartesiano defina las bandas $ S_n = \{(x,y)|n\le x < n + 1\}$ , $ n\in\mathbb{Z}$ y coloree cada banda de negro o blanco. Demuestre que cualquier rectángulo que no sea un cuadrado puede colocarse en el plano de modo que sus vértices tengan el mismo color. Problema C5 de la IMO Shortlist 2007, tal como aparece en el folleto oficial: En el plano cartesiano defina las bandas $ S_n = \{(x,y)|n\le x < n + 1\}$ para todo entero $ n.$ . Suponga que cada banda $ S_n$ está coloreada de rojo o de azul, y sean $ a$ y $ b$ dos enteros positivos distintos. Demuestre que existe un rectángulo con lados de longitudes $ a$ y $ b$ tal que sus vértices tienen el mismo color. ( Editado por Orlando Döhring ) Autor: Radu Gologan y Dan Schwarz, Rumania

1 Sea $AB$ una cuerda, que no sea un diámetro, de un círculo con centro $O$ . El arco menor $AB$ está dividido en tres arcos congruentes $AC$ , $CD$ , $DB$ . La cuerda $AB$ también está dividida en tres segmentos iguales $AC'$ , $C'D'$ , $D'B$ . Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $CC'$ y $DD'$ . Demuestre que $\angle APB = \frac13 \angle AOB$ .

2 Sea $n$ un entero positivo. Una terna $(a, b, c)$ con $a, b, c \in \{1, 2, . . . , 2n\}$ se llama chistosa si su término más pequeño es impar y si solo ese término más pequeño, o ningún término, se repite. Por ejemplo, las ternas $(4, 5, 3)$ y $(3, 8, 3)$ son chistosas, pero $(3, 2, 7)$ y $(3, 8, 8)$ no lo son. Determine el número de ternas chistosas en términos de $n$ .

3 Si $a, b, c$ y $d$ son números reales positivos tales que $a + b + c + d = 2$ , demuestre que $$\frac{a^2}{(a^2+1)^2}+\frac{b^2}{(b^2+1)^2}+\frac{c^2}{(c^2+1)^2}+\frac{d^2}{(d^2+1)^2} \le \frac{16}{25}$$

1 Halle todos los enteros positivos impares $n$ tales que existen $n$ enteros impares $x_1, x_2,..., x_n$ tales que $$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=n^4$$

2 Halle todos los polinomios $P (x)$ con coeficientes complejos tales que $$P (x^2) = P (x) · P (x + 2)$$ para cualquier número complejo $x.$

3 Sea $ M$ el punto medio del lado $ BC$ de un triángulo isósceles $ \triangle ABC$ con $ AC = AB$ . Tome un punto $ X$ en el arco menor $ \overarc{MA}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ \triangle ABM$ . Sea $ T$ el punto interior al ángulo $ BMA$ tal que $ \angle TMX = 90$ y $ TX = BX$ . Demuestre que $ \angle MTB - \angle CTM$ no depende de la elección de $ X$ . Autor: Farzan Barekat, Canadá

4 Se da un polígono convexo $ P$ con $ n$ vértices. Un triángulo cuyos vértices son vértices de $ P$ se llama bueno si todos sus lados tienen longitud unitaria. Demuestre que hay a lo sumo $ \frac {2n}{3}$ triángulos buenos. Autor: Vyacheslav Yasinskiy, Ucrania

Demuestre que existen infinitos pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que $\binom m{n-1}=\binom{m-1}n$ .

Demuestre que existe una familia $\mathfrak F=\{A_1,A_2,\ldots,A_r\}$ de subconjuntos de $m$ elementos de un conjunto dado $\{b_1,b_2,\ldots,b_n\}$ de $n$ elementos tal que (i) $\left|A_i\cap A_j\right|\le m-2$ para todos $A_i,A_j\in\mathfrak F$ con $i\ne j$ , y (ii) $r\ge\left\lfloor\frac1n\binom nm\right\rfloor$