4 Halle todos los enteros que pueden escribirse en la forma $\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+...+\frac{9}{a_9}$ donde $a_1,a_2, ...,a_9$ son dígitos distintos de cero, no necesariamente diferentes.

5 Las tangentes en los puntos $B$ y $C$ de una circunferencia dada se cortan en el punto $A$ . Sea $Q$ un punto del segmento $AC$ y suponga que $BQ$ corta de nuevo a la circunferencia en $P$ . La recta que pasa por $Q $ paralela a $AB$ interseca a $BC$ en $J$ . Demuestre que $PJ$ es paralela a $AC$ si y solo si $BC^2 = AC\cdot QC$ .

6 Un plano en el espacio es equidistante de un conjunto de puntos si sus distancias a los puntos del conjunto son iguales. ¿Cuál es el mayor número posible de planos equidistantes de cinco puntos, de los cuales no hay cuatro coplanares?

1 Determine todos los números primos $p$ para los cuales $8p^4-3003$ es un número primo positivo.

2 En un triángulo $ABC, P$ y $P'$ son puntos sobre el lado $BC, Q$ sobre el lado $CA$ , y $R $ sobre el lado $AB$ , tales que $\frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{CP'}{P'B}$ . Sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$ y $K$ el punto de intersección de $AP'$ y $RQ$ . Demuestre que los puntos $P,G,K$ son colineales.

3 Los números del $1$ al $16$ deben escribirse en las celdas de un tablero de $4\times 4$ . (a) Demuestre que esto puede hacerse de modo que cualesquiera dos números en celdas que comparten un lado difieran a lo sumo en $4$ . (b) Demuestre que esto no puede hacerse de modo que cualesquiera dos números en celdas que comparten un lado difieran a lo sumo en $3$ .

4 ¿Cuál es el número mínimo de planos determinados por $6$ puntos en el espacio que no son todos coplanares y entre los cuales no hay tres colineales?

5 Sean $P,Q,R$ puntos sobre los lados $BC,CA,AB$ respectivamente de un triángulo $ABC$ . Suponga que $BQ$ y $CR$ se cortan en $A', AP$ y $CR$ se cortan en $B'$ , y $AP$ y $BQ$ se cortan en $C'$ , de modo que $AB' = B'C', BC' =C'A'$ y $CA'= A'B'$ . Calcule la razón entre el área de $\triangle PQR$ y el área de $\triangle ABC$ .

6 Demuestre que el número $1$ tiene infinitas representaciones de la forma $$1 =\frac{1}{5}+\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ ...+\frac{1}{a_n}$$ , donde $ n$ y $a_i $ son enteros positivos con $5 < a_1 < a_2 < ... < a_n$ .

6 Publicaré aquí algunos problemas agradables de combinatoria, tomados del maravilloso libro de entrenamiento "Les olympiades de mathmatiques" (en francés) escrito por Tarik Belhaj Soulami. Aquí va el primero: Sea $\mathbb{I}$ un subconjunto no vacío de $\mathbb{Z}$ y sean $f$ y $g$ dos funciones definidas sobre $\mathbb{I}$ . Sea $m$ el número de pares $(x,\;y)$ para los cuales $f(x) = g(y)$ , sea $n$ el número de pares $(x,\;y)$ para los cuales $f(x) = f(y)$ y sea $k$ el número de pares $(x,\;y)$ para los cuales $g(x) = g(y)$ . Demuestre que \[2m \leq n + k.\]