3 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ , y sea $P$ el punto medio del arco menor $BC$ de $\Gamma$ . Sean $AP$ y $BC$ cortándose en $D$ , y sea $M$ el punto medio de $AB$ . Además, sea $E$ el punto tal que $AE\perp AB$ y $BE\perp MP$ . Demuestre que $AE=DE$ .

2 Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes racionales, y sea $\alpha$ un número real. Si \[\alpha^3-2019\alpha=(f(\alpha))^3-2019f(\alpha)=2021,\] demuestre que $(f^n(\alpha))^3-2019f^n(\alpha)=2021$ para todo entero positivo $n$ . (Aquí definimos $f^n(x)=\underbrace{f(f(f\cdots f}_{n\text{ times}}(x)\cdots ))$ . )

1 Sea $S$ un conjunto de $2020$ puntos distintos en el plano. Sea \[M=\{P:P\text{ is the midpoint of }XY\text{ for some distinct points }X,Y\text{ in }S\}.\] Halle el menor valor posible del número de puntos de $M$ .

6 Hay un tablero de ajedrez de $n\times n$ donde $n\geq 4$ es un número par positivo. Las casillas del tablero están coloreadas de blanco y negro de modo que casillas adyacentes que comparten un lado común tengan colores distintos. Sean $A$ y $B$ dos casillas interiores (es decir, casillas que no están en un borde del tablero) de colores distintos. Demuestre que una pieza de ajedrez puede moverse de $A$ a $B$ pasando por casillas adyacentes de modo que cada casilla del tablero sea recorrida exactamente una vez.

5 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases $BC$ y $AD$ . Suponga que $\angle BDC=10^{\circ}$ y $\angle BDA=70^{\circ}$ . Demuestre que $AD^2=BC(AD+AB)$ .

4 Sea $n$ un entero positivo. ¿Es posible expresar $n^2+3n+3$ en la forma $ab$ con $a$ y $b$ enteros positivos, y tal que la diferencia entre $a$ y $b$ sea menor que $2\sqrt{n+1}$ ?

3 Sobre la mesa hay $20$ monedas de pesos $1,2,3,\ldots,15,37,38,39,40$ y $41$ gramos. Todas tienen la misma apariencia pero sus colores son todos distintos. La señorita Adams sabe el peso y el color de cada moneda, pero el señor Bean solo conoce los pesos de las monedas. También hay una balanza sobre la mesa, y cada comparación de pesos de dos grupos de monedas se llama una operación. La señorita Adams quiere decirle al señor Bean cuál moneda es la de $1$ gramo realizando algunas operaciones. ¿Cuál es el número mínimo de operaciones que necesita realizar?

2 En $\Delta ABC$ , $AC=kAB$ , con $k>1$ . La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a $BC$ en $D$ . La circunferencia con diámetro $AC$ corta a la prolongación de $AD$ en $E$ . Exprese $\dfrac{AD}{AE}$ en términos de $k$ .

1 Halle todas las ternas reales $(a,b,c)$ que satisfacen \[(2^{2a}+1)(2^{2b}+2)(2^{2c}+8)=2^{a+b+c+5}.\]

4 Sean $n$ y $k$ dos enteros con $n>k\geqslant 1$ . Hay $2n+1$ estudiantes de pie en un círculo. Cada estudiante $S$ tiene $2k$ vecinos: a saber, los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ por la izquierda y los $k$ estudiantes más cercanos a $S$ por la derecha. Suponga que $n+1$ de los estudiantes son niñas y los otros $n$ son niños. Demuestre que hay una niña con al menos $k$ niñas entre sus vecinos. Propuesto por Gurgen Asatryan, Armenia