1 Sean $ m$ y $ n$ dos enteros positivos distintos. Demuestre que existe un número real $ x$ tal que $ \frac {1}{3}\le\{xn\}\le\frac {2}{3}$ y $ \frac {1}{3}\le\{xm\}\le\frac {2}{3}$ . Aquí, para cualquier número real $ y$ , $ \{y\}$ denota la parte fraccionaria de $ y$ . Por ejemplo, $ \{3.1415\} = 0.1415$ .

4 Halle todas las funciones $~$ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $~$ que satisfacen la ecuación \[ f(x+yf(x))\, =\, f(f(x)) + xf(y)\, . \]

1 Halle todas las funciones inyectivas $ f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ que satisfacen \[ f(f(n)) \le\frac{n + f(n)}{2}\] para cada $ n \in \mathbb{N}$ .

1 1. Al barón Munchhausen le dijeron que cierto polinomio $P(x)=a_{n} x^{n}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$ es tal que $P(x)+P(-x)$ tiene exactamente 45 raíces reales distintas. El barón no sabe el valor de $n$ . Sin embargo, afirma que puede determinar uno de los coeficientes $a_{n}, \ldots, a_{1}, a_{0}$ (indicando su posición y su valor). ¿Se equivoca el barón? Boris Frenkin

Halle todos los enteros positivos $n$ tales que tanto $n$ como $n + 100$ tengan un número impar de divisores.

Algunos estudiantes de un grupo eran amigos de algunos otros. Un día todos los estudiantes del grupo participan en un picnic. Durante el picnic algunos amigos se pelearon entre sí, pero algunos otros estudiantes se hicieron amigos. Después del picnic, el número de amigos de cada estudiante cambió en $1$ . Demuestre que el número de estudiantes del grupo era par.

Dado un triángulo $ABC$ , sea $K$ el punto medio de $AB$ y $L$ el punto sobre el lado $AC$ tal que $AL = LC + CB$ . Muestre que si $\angle KLB = 90^o$ entonces $AC = 3 CB$ y, recíprocamente, si $AC = 3 CB$ entonces $\angle KLB = 90^o$ .

Dos círculos son tangentes en $M$ y están dentro de un rectángulo $ABCD$ . Uno de ellos es tangente a los lados $AB$ y $AD$ , y el otro es tangente a $AD,BC,CD$ . El radio del segundo círculo es cuatro veces el del primero. Halle la razón en la que la tangente común de los círculos en $M$ divide a $AB$ y $CD$ .

Sean $p$ y $q$ enteros positivos distintos. Demuestre que al menos una de las ecuaciones $x^2+px+q=0$ y $x^2+qx+p=0$ tiene una raíz real.

La expresión $1\oplus2\oplus3\oplus4\oplus5\oplus6\oplus7\oplus8\oplus9$ está escrita en una pizarra. Bill y Peter juegan al siguiente juego. Reemplazan $\oplus$ por $+$ o $\cdot$ , haciendo sus movimientos por turnos, y uno de ellos solo puede usar $+$ , mientras que el otro solo puede usar $\cdot$ . Al principio, Bill elige el signo que usará, e intenta que el resultado sea un número par. Peter intenta que el resultado sea un número impar. Demuestre que Peter siempre puede ganar. Redacción original La expresión $1*2*3*4*5*6*7*8*9$ está escrita en una pizarra. Bill y Peter juegan al siguiente juego. Reemplazan $*$ por $+$ o $\cdot$ , haciendo sus movimientos por turnos, y uno de ellos solo puede usar $+$ , mientras que el otro solo puede usar $\cdot$ . Al principio Bill elige el signo que usará, e intenta que el resultado sea un número par. Peter intenta que el resultado sea un número impar. Demuestre que Peter siempre puede ganar.