Sea $n\geqslant 1$ un entero, y sean $x_0,x_1,\ldots,x_{n+1}$ $n+2$ números reales no negativos que satisfacen $x_ix_{i+1}-x_{i-1}^2\geqslant 1$ para todo $i=1,2,\ldots,n.$ Demuestre que \[x_0+x_1+\cdots+x_n+x_{n+1}>\bigg(\frac{2n}{3}\bigg)^{3/2}.\] Pakawut Jiradilok y Wijit Yangjit, Tailandia

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos lados tienen longitudes distintas dos a dos. Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$ . Las bisectrices interiores de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ cortan a $AC$ en $B_1$ y $D_1$ , respectivamente. Sea $O_B$ el centro de la circunferencia que pasa por $B$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $D_1$ . De manera similar, sea $O_D$ el centro de la circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $\overline{AC}$ en $B_1$ . Suponga que $\overline{BD_1} \parallel \overline{DB_1}$ . Demuestre que $O$ se encuentra sobre la recta $\overline{O_BO_D}$ .

Las funciones $f,g:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ satisfacen $$f(g(x)+y)=g(f(y)+x)$$ para cualesquiera enteros $x,y$ . Si $f$ es acotada, demuestre que $g$ es periódica.

Un cazador y un conejo invisible juegan en una retícula cuadrada infinita. Primero el cazador fija una coloración de las celdas con finitos colores. El conejo elige entonces secretamente una celda para comenzar. Cada minuto, el conejo informa al cazador del color de su celda actual, y luego se mueve secretamente a una celda adyacente que no haya visitado antes (dos celdas son adyacentes si comparten una arista). El cazador gana si después de algún tiempo finito ocurre que: el conejo no puede moverse; o el cazador puede determinar la celda en la que comenzó el conejo. Determine si existe una estrategia ganadora para el cazador. Propuesto por Aron Thomas

Considere una retícula cuadrada unitaria de $100\times 100$ $\textbf{L}$ (por lo tanto $\textbf{L}$ tiene $10000$ puntos). Suponga que $\mathcal{F}$ es un conjunto de polígonos tal que todos los vértices de los polígonos de $\mathcal{F}$ se encuentran en $\textbf{L}$ y cada punto de $\textbf{L}$ es vértice de exactamente un polígono de $\mathcal{F}.$ Halle la suma máxima posible de las áreas de los polígonos de $\mathcal{F}.$ Michael Ren y Ankan Bhattacharya, USA

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen \[f(xy+f(x))+f(y)=xf(y)+f(x+y),\] para todos los números reales $x,y$ .

El conjunto $A{}$ de enteros positivos satisface las condiciones siguientes: Si un entero positivo $n{}$ pertenece a $A{}$ , entonces $2n$ también pertenece a $A{}$ ; Para cualquier entero positivo $n{}$ existe un elemento de $A{}$ divisible por $n{}$ ; Existen subconjuntos finitos de $A{}$ con sumas de los recíprocos de sus elementos arbitrariamente grandes. Demuestre que para cualquier número racional positivo $r{}$ existe un subconjunto finito $B\subset A$ tal que \[\sum_{x\in B}\frac{1}{x}=r.\]

Halle todos los enteros positivos $n$ con la propiedad siguiente: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1,d_2,\ldots,d_k)$ tal que para $i=1,2,\ldots,k$ , el número $d_1+d_2+\cdots+d_i$ es un cuadrado perfecto.

9 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ al lado $BC$. Se da que $\angle AOD=90^\circ$ y $OD=4\sqrt{7}$. Sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Sea $AO$ que intersecta a $EF$ en un punto $P$. Dado que $AP=11$, encuentra la longitud del segmento $EF$.

El reino de Anisotropía consta de $n$ ciudades. Para cada dos ciudades existe exactamente una carretera directa de un solo sentido entre ellas. Decimos que un camino de $X$ a $Y$ es una sucesión de carreteras tal que uno puede moverse de $X$ a $Y$ a lo largo de esta sucesión sin volver a una ciudad ya visitada. Una colección de caminos se llama diversa si ninguna carretera pertenece a dos o más caminos de la colección. Sean $A$ y $B$ dos ciudades distintas de Anisotropía. Sea $N_{AB}$ el número máximo de caminos en una colección diversa de caminos de $A$ a $B$ . De manera similar, sea $N_{BA}$ el número máximo de caminos en una colección diversa de caminos de $B$ a $A$ . Demuestre que la igualdad $N_{AB} = N_{BA}$ se cumple si y solo si el número de carreteras que salen de $A$ es el mismo que el número de carreteras que salen de $B$ . Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia