Considere $A\in \mathcal{M}_{2020}(\mathbb{C})$ tal que $$ (1)\begin{cases} A+A^{\times} =I_{2020},\\ A\cdot A^{\times} =I_{2020},\\ \end{cases} $$ donde $A^{\times}$ es la matriz adjunta de $A$ , es decir, la matriz cuyos elementos son $a_{ij}=(-1)^{i+j}d_{ji}$ , donde $d_{ji}$ es el determinante que se obtiene de $A$ al eliminar la línea $j$ y la columna $i$ . Halle el número máximo de matrices que verifican $(1)$ tales que cualesquiera dos de ellas no sean semejantes. ThE-dArK-lOrD

Sea $k>1$ un número real. Calcule: (a) $L=\lim_{n\to \infty} \int_0^1\left( \frac{k}{\sqrt[n]{x}+k-1}\right)^n\text{d} x.$ (b) $\lim_{n\to \infty} n\left\lbrack L- \int_0^1\left( \frac{k}{\sqrt[n]{x}+k-1}\right)^n\text{d} x\right\rbrack.$ ThE-dArK-lOrD

Sea $n$ un entero positivo, $k\in \mathbb{C}$ y $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que $\text{Tr } A\neq 0$ y $$\text{rank } A +\text{rank } ((\text{Tr } A) \cdot I_n - kA) =n.$$ Halle $\text{rank } A$ . ThE-dArK-lOrD

Considere $0<a<T$ , $D=\mathbb{R}\backslash \{ kT+a\mid k\in \mathbb{Z}\}$ , y sea $f:D\to \mathbb{R}$ una función $T-$ periódica y diferenciable que satisface $f' > 1$ en $(0, a)$ y $$f(0)=0,\lim_{\substack{x\to a\\x<a}}f(x)=+\infty \text{ and }\lim_{\substack{x\to a\\ x<a}}\frac{f'(x)}{f^2(x)}=1.$$ Demuestre que para todo $n\in \mathbb{N}^*$ , la ecuación $f(x)=x$ tiene una única solución en el intervalo $(nT, nT+a)$ , denotada $x_n$ . Sean $y_n=nT+a-x_n$ y $z_n=\int_0^{y_n}f(x)\text{d}x$ . Demuestre que $\lim_{n\to \infty}{y_n}=0$ y estudie la convergencia de las series $\sum_{n=1}^{\infty}{y_n}$ y $\sum_{n=1}^{n}{z_n}$ . ThE-dArK-lOrD

Sea $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ una función continua estrictamente creciente tal que \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}=1. \] (a) Demuestre que la sucesión $(x_n)_{n \ge 1}$ definida por \[ x_n=f \left(\frac{1}{1} \right)+f \left(\frac{1}{2} \right)+\cdots+f \left(\frac{1}{n} \right)-\int_1^n f \left(\frac{1}{x} \right) \mathrm dx \] es convergente. (b) Halle el límite de la sucesión $(y_n)_{n \ge 1}$ definida por \[ y_n=f \left(\frac{1}{n+1} \right)+f \left(\frac{1}{n+2} \right)+\cdots+f \left(\frac{1}{2021n} \right). \]

Sea $n \ge 2$ un entero positivo y sea $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ una matriz tal que $A^2=-I_n$ . Si $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ y $AB = BA$ , demuestre que $\det B \ge 0$ .

Sean $A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dos matrices reales simétricas con valores propios no negativos. Demuestre que $A^3+B^3=(A+B)^3$ si y solo si $AB=O_n$ .

Sea $(x_n)_{n\geq 1}$ la sucesión definida por $x_1\in (0,1)$ y $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2}{\sqrt{n}}$ para todo $n\geq 1$ . Halle los valores de $\alpha\in\mathbb{R}$ para los cuales la serie $\sum_{n=1}^{\infty}x_n^{\alpha}$ es convergente.

Para $p \in \mathbb{R}$ , sea $(a_n)_{n \ge 1}$ la sucesión definida por \[ a_n=\frac{1}{n^p} \int_0^n |\sin( \pi x)|^x \mathrm dx. \] Determine todos los valores posibles de $p$ para los cuales la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ una matriz tal que $(AA^*)^2=A^*A$ , donde $A^*=(\bar{A})^t$ denota la transpuesta hermitiana (es decir, la transpuesta conjugada) de $A$ . (a) Demuestre que $AA^*=A^*A$ . (b) Muestre que los valores propios no nulos de $A$ tienen módulo uno.