Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1971 Problema 16
16 Sea $P_1$ un poliedro convexo con vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$. Sea $P_i$ el poliedro obtenido a partir de $P_1$ mediante una traslación que mueve $A_1$ a $A_i$. Demuestra que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen un punto interior en común.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1972 Problema 1
1 $f$ y $g$ son funciones de valor real definidas en la recta real. Para todo $x$ y $y$, se cumple que $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)$. $f$ no es idénticamente cero y $|f(x)|\le1$ para todo $x$. Demuestra que $|g(x)|\le1$ para todo $x$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1972 Problema 2
2 Se nos dan $3n$ puntos $A_1,A_2, \ldots , A_{3n}$ en el plano, sin tres de ellos colineales. Demuestra que se pueden construir $n$ triángulos disjuntos con vértices en los puntos $A_i$.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1972 Problema 3
3 El número menor es $m$ y el número mayor es $M$ entre $ a_1 ,a_2 ,\ldots,a_n$ que satisfacen $ a_1 +a_2 +...+a_n =0$ . Demuestra que \[ a_1^2 +\cdots +a_n^2 \le-nmM\]
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1972 Problema 4
4 Sean $n_1, n_2$ enteros positivos. Considera en un plano $E$ dos conjuntos disjuntos de puntos $M_1$ y $M_2$ que consisten de $2n_1$ y $2n_2$ puntos, respectivamente, y tales que no hay tres puntos de la unión $M_1 \cup M_2$ colineales. Demuestra que existe una recta $g$ con la siguiente propiedad: Cada uno de los dos semiplanos determinados por $g$ en $E$ (sin incluir a $g$ en ninguno) contiene exactamente la mitad de los puntos de $M_1$ y exactamente la mitad de los puntos de $M_2.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1972 Problema 5
5 Demuestra la siguiente afirmación: Las cuatro alturas de un tetraedro $ABCD$ se intersecan en un punto si y solo si \[AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = CA^2 + BD^2.\] Amir
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1972 Problema 6
6 Demuestra que para cualquier $n \not \equiv 0 \pmod{10}$ existe un múltiplo de $n$ que no contiene el dígito $0$ en su expansión decimal. Amir
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1972 Problema 7
Dados cuatro planos paralelos distintos, demuestra que existe un tetraedro regular con un vértice en cada plano.
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Olimpiada Internacional de Matemáticas , Lista Corta 1972 Problema 8
Demuestra que $(2m)!(2n)!$ es un múltiplo de $m!n!(m+n)!$ para cualesquiera enteros no negativos $m$ y $n$.
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AIME 2024 Problema 1
1 Cada mañana, Aya camina $9$ kilómetros y luego termina en la cafetería. Un día, camina a $s$ kilómetros por hora, y la caminata le toma $4$ horas, incluyendo $t$ minutos en la cafetería. Otra mañana, camina a $s+2$ kilómetros por hora, y la caminata le toma $2$ horas y $24$ minutos, incluyendo $t$ minutos en la cafetería. Esta mañana, si camina a $s+\frac12$ kilómetros por hora, ¿cuántos minutos tomará la caminata, incluyendo los $t$ minutos en la cafetería?
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