56 Sean $a$ y $b$ dos números naturales que tienen el mismo número $n$ de dígitos en sus expansiones decimales. Los primeros $m$ dígitos (de izquierda a derecha) de los números $a$ y $b$ son iguales. Demuestra que si $m > \frac{n}{2}$, entonces $a^{\frac{1}{n}} - b^{\frac{1}{n}} < \frac{1}{n}$.

Dado el triángulo \( ABC \) con puntos \( M \) y \( N \) en los lados \( AB \) y \( AC \) respectivamente. Si \( \dfrac{BM}{MA} +\dfrac{CN}{NA} = 1 \), entonces demuestra que el baricentro de \( ABC \) está sobre \( MN \).

58 $(SWE 1)$ Se dan seis puntos $P_1, . . . , P_6$ en el espacio tridimensional tales que no hay cuatro de ellos en el mismo plano. Cada uno de los segmentos $P_jP_k$ se colorea de negro o blanco. Demuestra que existe un triángulo $P_jP_kP_l$ cuyas aristas son del mismo color.

A2 Sean $a$ y $b$ números reales positivos tales que $3a^2 + 2b^2 = 3a + 2b$ . Halle el valor mínimo de $A =\sqrt{\frac{a}{b(3a+2)}} + \sqrt{\frac{b}{a(2b+3)}} $

59 $(SWE 2)$ Para cada $\lambda$ $(0 < \lambda < 1$ y $\lambda = \frac{1}{n}$ para todo $n = 1, 2, 3, \cdots)$, construye una función continua $f$ tal que no existan $x, y$ con $0 < \lambda < y = x + \lambda \le 1$ para los cuales $f(x) = f(y).$

60 $(SWE 3)$ Encuentra el número natural $n$ con las siguientes propiedades: $(1)$ Sea $S = \{P_1, P_2, \cdots\}$ un conjunto finito arbitrario de puntos en el plano, y $r_j$ la distancia desde $P_j$ al origen $O.$ Asignamos a cada $P_j$ el disco cerrado $D_j$ con centro $P_j$ y radio $r_j$ . Entonces algunos $n$ de estos discos contienen todos los puntos de $S.$ $(2)$ $n$ es el entero más pequeño con la propiedad anterior.

61 $(SWE 4)$ Sean $a_0, a_1, a_2, \cdots$ determinados con $a_0 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2^n$. Demuestra que si $n$ es potencia de $2$, entonces también lo es $a_n$.

8.1 Hay \(n\) números dispuestos en un círculo, y cada número es igual al valor absoluto de la diferencia entre sus dos vecinos. ¿Es necesariamente cierto que todos los números son iguales a cero si: a) \(n=2025\) ; b) \(n=2024\) ? Propuesto por Anton Trygub

8.2 Dado un cuadrilátero \(ABCD\) , el punto \(M\) es el punto medio del lado \(CD\) . Resulta que \(\angle BMA = 90^{\circ}\) y \(\angle MAB = \angle CBD\) . Demuestre que \(AC = AB\) . Propuesto por Anton Trygub

8.3 Inicialmente, hay $14$ números escritos en la pizarra: ceros y unos. Cada minuto, Anton elige la mitad de los números de la pizarra y les suma $1$ a cada uno de ellos, mientras que Mykhailo multiplica todos los demás números por $8$ . En algún momento (posiblemente inicial), todos los números de la pizarra se vuelven iguales. ¿Cuántos unos podría haber habido inicialmente en la pizarra? Propuesto por Oleksii Masalitin