3 Resuelva el siguiente sistema para números reales $a , b, c, d, e$ : \[ \left\{ \begin{array}{ccc} 3a & = & ( b + c+ d)^3 \\ 3b & = & ( c + d +e ) ^3 \\ 3c & = & ( d + e +a )^3 \\ 3d & = & ( e + a +b )^3 \\ 3e &=& ( a + b +c)^3. \end{array}\right. \]

4 Sea $X$ un conjunto que contiene $n$ elementos. Halle el número de ternas ordenadas $(A,B, C)$ de subconjuntos de $X$ tales que $A$ es un subconjunto de $B$ y $B$ es un subconjunto propio de $C$ .

5 Defina una sucesión $(a_n)_{n \geq 1}$ mediante $a_1 =1$ y $a_2 =2$ y $a_{n+2} = 2 a_{n+1} - a_n + 2$ para $n \geq 1$ . Demuestre que para cualquier $m$ , $a_m a_{m+1}$ es también un término de esta sucesión.

6 Hay un arreglo (matriz) $2n \times 2n$ formado por $0's$ y $1's$ y hay exactamente $3n$ ceros. Muestre que es posible eliminar todos los ceros suprimiendo $n$ filas y $n$ columnas.

2 Jane escribe $2024$ números naturales alrededor del perímetro de un círculo. Ella quiere que los $2024$ productos de pares de números adyacentes sean exactamente el conjunto $\{ 1!, 2!, \ldots, 2024! \}.$ ¿Puede lograrlo?

3 Sea $N{}$ el número de enteros positivos con $10$ dígitos $\overline{d_9d_8\cdots d_0}$ en base $10$ (donde $0\le d_i\le9$ para todo $i$ y $d_9>0$ ) tales que el polinomio \[d_9x^9+d_8x^8+\cdots+d_1x+d_0\] es irreducible en $\Bbb Q$ . Demuestre que $N$ es par. (Un polinomio es irreducible en $\Bbb Q$ si no puede factorizarse en dos polinomios no constantes con coeficientes racionales.) Quantum-Phantom

4 Un tesoro fue enterrado en una única casilla de una cuadrícula de $M\times N$ ( $2\le M$ , $N$ ). Se trajeron detectores para encontrar la casilla con el tesoro. Para cada detector, se puede configurar para que escanee una subcuadrícula específica $[a,b]\times[c,d]$ con $1\le a\le b\le M$ y $1\le c\le d\le N$ . Al activar el detector se sabrá si el tesoro está en la región o no, aunque no puede indicar en qué lugar de la región fue detectado el tesoro. Se planea configurar $Q$ detectores, que solo pueden activarse simultáneamente después de que los $Q$ detectores estén listos. En términos de $M$ y $N$ , ¿cuál es el $Q$ mínimo requerido para garantizar la determinación de la ubicación del tesoro? Quantum-Phantom

5 Inicialmente, tres puntos no colineales, $A$ , $B$ y $C$ , están marcados en el plano. Se tiene un lápiz y una regla de doble filo de ancho $1$ . Con ellos, se pueden realizar las siguientes operaciones: Marcar un punto arbitrario en el plano. Marcar un punto arbitrario sobre una recta ya trazada. Si dos puntos $P_1$ y $P_2$ están marcados, trazar la recta que une $P_1$ y $P_2$ . Si dos rectas no paralelas $l_1$ y $l_2$ están trazadas, marcar la intersección de $l_1$ y $l_2$ . Si una recta $l$ está trazada, trazar una recta paralela a $l$ que esté a distancia $1$ de $l$ (nótese que se pueden trazar dos rectas de este tipo). Demuestre que es posible marcar el ortocentro de $ABC$ usando estas operaciones. Quantum-Phantom

2019.4 La abuela Danutė tomó un rectángulo con lados de longitud entera y lo cortó en cuadrados con lados de longitud $2$ , $2$ , $3$ , $3$ , $5$ , $5$ , $7$ , $7$ , $8$ , $8$ , $9$ , $9$ . Al volver de la escuela, el estudiante de séptimo grado Rock esperaba con la tarea de decir cuál era el perímetro del rectángulo cortado.

1 Sea $ABC$ un triángulo con $BA=BC$ y $\angle ABC=90^{\circ}$ . Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $CA$ y $BA$ respectivamente. El punto $F$ está en el interior de $\triangle ABC$ tal que $\triangle DEF$ es equilátero. Sean $X=BF\cap AC$ y $Y=AF\cap DB$ . Demuestre que $DX=YD$ .