C2 Alice está realizando un truco de magia. Tiene una baraja estándar de 52 cartas, que puede ordenar de antemano. Invita a un voluntario a elegir un entero \(0\le n\le 52\) , y corta la baraja en una pila con las \(n\) cartas superiores y una pila con las \(52-n\) restantes. Luego le da ambas pilas al voluntario, quien las mezcla intercalándolas y le devuelve la baraja boca abajo. (Así, en la baraja resultante, las cartas que estaban en la baraja de tamaño \(n\) aparecen en orden, al igual que las cartas que estaban en la baraja de tamaño \(52-n\) . ) Alice luego voltea las cartas una a una desde la parte superior. Antes de voltear cada carta, puede decidir adivinar el color de la carta que está a punto de voltear. Se detiene si adivina incorrectamente. ¿Cuál es el número máximo de aciertos que puede garantizar? Propuesto por Espen Slettnes

C3 Halle todos los pares de enteros positivos \((a,b)\) con la siguiente propiedad: existe un entero \(N\) tal que para cualesquiera enteros \(m\ge N\) y \(n\ge N\) , toda cuadrícula \(m\times n\) de cuadrados unitarios puede particionarse en rectángulos \(a\times b\) y menos de \(ab\) cuadrados unitarios. Propuesto por Holden Mui

C4 Sea \(n\) un entero positivo y considere una cuadrícula cuadrada de \(n\times n\) . Para \(1\le k\le n\) , un pitón de longitud \(k\) es una serpiente que ocupa \(k\) celdas consecutivas en una sola fila, y ninguna otra celda. De manera similar, una anaconda de longitud \(k\) es una serpiente que ocupa \(k\) celdas consecutivas en una sola columna, y ninguna otra celda. La cuadrícula contiene al menos un pitón o una anaconda, y satisface las siguientes propiedades: Ninguna celda está ocupada por varias serpientes. Si una celda de la cuadrícula está inmediatamente a la izquierda o inmediatamente a la derecha de un pitón, entonces esa celda debe estar ocupada por una anaconda. Si una celda de la cuadrícula está inmediatamente arriba o inmediatamente abajo de una anaconda, entonces esa celda debe estar ocupada por un pitón. Demuestre que la suma de los cuadrados de las longitudes de las serpientes es al menos \(n^2\) . Propuesto por Linus Tang

C5 Defina el mexth de \(k\) conjuntos como el \(k\) t h entero positivo más pequeño que ninguno de ellos contiene, si existe. ¿Existe una familia \(\mathcal F\) de conjuntos de enteros positivos tal que para cualquier subconjunto finito no vacío \(\mathcal G\) de \(\mathcal F\) , el mexth de \(\mathcal G\) exista, y para cualquier entero positivo \(n\) , haya exactamente un subconjunto finito no vacío \(\mathcal G\) de \(\mathcal F\) tal que \(n\) sea el mexth de \(\mathcal G\) . Propuesto por Espen Slettnes

C6 Para un conjunto \(S\) de enteros positivos y un entero positivo \(n\) , considere el juego de \((n,S)\) - nim , que es como sigue. Una pila comienza con \(n\) sandías. Dos jugadores, Deric y Erek, se turnan alternadamente comiendo sandías de la pila, comenzando Deric. En cualquier turno, el número de sandías comidas debe ser un elemento de \(S\) . El último jugador en mover gana. Sea \(f(S)\) el conjunto de enteros positivos \(n\) para los cuales Deric tiene una estrategia ganadora en \((n,S)\) - nim. Sea \(T\) un conjunto de enteros positivos. ¿Debe la sucesión \[T, \; f(T), \; f(f(T)), \;\ldots\] ser eventualmente constante? Propuesto por Brandon Wang y Edward Wan

C7 Un hexágono discreto con centro \((a,b,c)\) \emph{(donde \(a\) , \(b\) , \(c\) son enteros) y radio \(r\) (un entero no negativo) } es el conjunto de puntos reticulares \((x,y,z)\) tales que \(x+y+z=a+b+c\) y \(\max(|x-a|,|y-b|,|z-c|)\le r\) . Sea \(n\) un entero no negativo y sea \(S\) el conjunto de ternas \((x,y,z)\) de enteros no negativos tales que \(x+y+z=n\) . Si \(S\) se particiona en hexágonos discretos, demuestre que se necesitan al menos \(n+1\) hexágonos. Propuesto por Linus Tang

C8 Sea \(n\ge3\) un entero fijo, y sea \(\alpha\) un número real positivo fijo. Hay \(n\) números escritos alrededor de un círculo de modo que hay exactamente un \(1\) y el resto son \(0\) ' s. Una operación consiste en elegir un número \(a\) en el círculo, restarle algún real positivo \(x\le a\) y sumar \(\alpha x\) a cada uno de sus vecinos. Halle todos los pares \((n,\alpha)\) tales que todos los números en el círculo puedan hacerse iguales después de un número finito de operaciones. Propuesto por Anthony Wang

G1 Sea \(ABCDE\) un pentágono regular. Sea \(P\) un punto variable en el interior del segmento \(AB\) tal que \(PA\ne PB\) . Las circunferencias circunscritas de \(\triangle PAE\) y \(\triangle PBC\) se cortan de nuevo en \(Q\) . Sea \(R\) el circuncentro de \(\triangle DPQ\) . Demuestre que al variar \(P\) , \(R\) se encuentra sobre una recta fija. Propuesto por Karthik Vedula

G2 Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo escaleno con ortocentro \(H\) . La recta \(BH\) interseca a \(\overline{AC}\) en \(E\) y la recta \(CH\) interseca a \(\overline{AB}\) en \(F\) . Sea \(X\) el pie de la perpendicular desde \(H\) a la recta que pasa por \(A\) paralela a \(\overline{EF}\) . El punto \(B_1\) se encuentra en la recta \(XF\) tal que \(\overline{BB_1}\) es paralelo a \(\overline{AC}\) , y el punto \(C_1\) se encuentra en la recta \(XE\) tal que \(\overline{CC_1}\) es paralelo a \(\overline{AB}\) . Demuestre que los puntos \(B\) , \(C\) , \(B_1\) , \(C_1\) son concíclicos. Propuesto por Luke Robitaille

G3 Dos triángulos se intersecan formando siete regiones finitas disjuntas, seis de las cuales son triángulos de área 1. La última región es un hexágono de área \(A\) . Calcule el mínimo valor posible de \(A\) . Propuesto por Karthik Vedula