Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2019 Problema 12
12 El número $B=\overline{a_1a_2\dots a_na_1a_2\dots a_n}$ se llama $repetition$ del número natural positivo $A = \overline{a_1a_2\dots a_n}$ . Demuestre que existe una infinidad de números naturales cuya $repetition$ es un cuadrado perfecto .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2018 Problema 1
1 $a_1,a_2,...a_{2018}$ son números positivos, y $a_{2018}^2+a_{2017}^2=a_{2016}^2-a_{2015}^2+a_{2014}^2-...+a_{2}^2-a_{1}^2.$ Demuestre que $A=a_1a_2...a_{2018}+2025$ es una diferencia de dos cuadrados
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2018 Problema 2
2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo.Sea $OF \| BC$ donde $O$ es el circuncentro y $F$ está entre $A$ y $B$ . Sea $H$ el ortocentro.Sea $M$ el punto medio de $AH$ . Demuestre que $\angle FMC=90$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2018 Problema 3
3 Sean $a,b,c \in\mathbb{R^*_+}$ . Demuestre la desigualdad $\frac{a^2+4}{b+c}+\frac{b^2+9}{c+a}+\frac{c^2+16}{a+b}\ge9$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2018 Problema 4
4 Demuestre que $A=10^{n^3-n+2}$ puede escribirse como suma de cuatro cubos perfectos.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2018 Problema 1
1 Halle todos los pares de enteros positivos ( $x$ , $y$ ) tales que $y^3=x^3+7x^2+4x+15$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2018 Problema 2
2 Sean $x$ , $y$ números reales positivos tales que $\frac{1}{1+x+x^2}+\frac{1}{1+y+y^2}+\frac{1}{1+x+y}=1$ . Demuestre que $xy=1.$
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2018 Problema 3
3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y $P$ y $Q$ son los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ , y $O$ su punto de intersección.El punto $M$ es el punto medio de $AB$ y $N$ es el punto medio de $CD$ tal que $ MN \cap AC ={E},MN \cap BD={F}$ . Demuestre que $OE \cdot QF= OF\cdot PE $
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2018 Problema 4
4 Sea $A = \left\{1,2,3,\cdots 72 \right\}$ . Demuestre que se pueden elegir $36$ elementos de $A$ tales que la suma de esos $36$ elementos sea igual a la suma de los otros $36$
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2016 Problema 8
8 Nicu juega el siguiente juego en la computadora. Inicialmente el número $S$ en la computadora tiene el valor $S = 0$ . En cada paso Nicu elige un cierto número $a$ ( $0 <a <1$ ) y lo introduce en la computadora. La computadora, arbitrariamente, o bien suma este número $a$ al número $S$ o bien lo resta de $S$ y muestra en la pantalla el nuevo resultado para $S$ . Después de esto Nicu hace el siguiente paso. Se sabe que entre cualesquiera $100$ operaciones consecutivas la computadora aplica la suma al menos una vez. Dado un número arbitrario $M> 0$ . Demuestre que existe una estrategia para Nicu que siempre le permitirá, después de un número finito de pasos, obtener un resultado $S> M$ . redacción original Nicu joacă la calculator următorul joc. Iniţial numărul S din calculator are valoarea S = 0. La fiecare pas Nicu alege un număr oarecare a (0 < a < 1) şi îl introduce în calculator. Calculatorul, în mod arbitrar, sau adună acest număr a la numărul S sau îl scade din S şi afişează pe ecran rezultatul nou pentru S. După aceasta Nicu face următorul pas. Se ştie că printre oricare 100 de operaţii consecutive calculatorul cel puţin o dată aplică adunarea. Fie dat un număr arbitrar M > 0. Să se arate că există o strategie pentru Nicu care oricând îi va permite lui după un număr finit de paşi să obţină un rezulat S > M.
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