1 Considere $A = \{1, 2, ..., 16\}$ . Se dice que una partición de $A$ en conjuntos no vacíos $A_1, A_2,..., A_n$ es buena si ninguno de los Ai contiene elementos $a, b, c$ (no necesariamente distintos) tales que $a = b + c$ . (a) Halle una partición buena $\{A_1, A_2, A_3, A_4\}$ de $A$ . (b) Demuestre que ninguna partición $\{A_1, A_2, A_3\}$ de $A$ es buena

2 Las circunferencias $k_1$ y $k_2$ se cortan en $P$ y $Q$ , y $A$ y $B$ son los puntos de tangencia de su tangente común más cercana a $P$ (donde $A$ está sobre $k_1$ y $B$ sobre $k_2$ ) . La tangente a $k_1$ en $P$ corta nuevamente a $k_2$ en $C$ . Las rectas $AP$ y $BC$ se cortan en $R$ . Muestre que las rectas $BP$ y $BC$ son tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo $PQR$ .

3 Halle todas las soluciones de la ecuación $(a^a)^5 = b^b$ en enteros positivos.

7 Sea $I$ el incentro de $\triangle{ABC}$. Las bisectrices $BI$ y $CI$ intersecan la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ en los puntos $S$ y $T$, respectivamente ($S \neq B$ y $T \neq C$). La recta $ST$ interseca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Demuestra que el cuadrilátero $AKIL$ es un rombo. Nota: Un rombo es un paralelogramo con todos sus lados iguales.

8 Sean $x$ y $z$ números reales tales que $$x^2+5xz+z^2=7$$ $$x^2z+xz^2=2$$ Si $x+z\neq2$, determina el valor de $(6xz)^2$.

Tenemos $10,000$ triángulos equiláteros idénticos. Considera el hexágono regular más grande que se puede formar con estos triángulos sin superponerlos. ¿Cuántos triángulos no se usarán?

3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Suponga que el reflejo de $AB$ respecto de $CI$ y el reflejo de $AC$ respecto de $BI$ se intersecan en un punto $X$ . Demuestre que $XI$ es perpendicular a $BC$ .

2009.5 Partiendo de un triángulo equilátero $ABC$ con lado de longitud $2$, dibuja los cuadrados $ABPQ$, $BCTU$ y $CARS$ hacia afuera, sobre sus lados $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. Calcula el área del hexágono $PQRSTU$.

2 Sea $I_n=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^n \min \left( \frac{1}{i}, \frac{1}{j}, \frac{1}{k} \right)$ y sea $H_n=1+\frac{1}{2}+\ldots \frac{1}{n}$ . Halle $I_n-H_n$ en términos de $n$ (Parafraseado)

2016.6 Dado un hexágono regular $ABCDEF$ cuya área es exactamente $1$. Considera todos los triángulos posibles cuyos vértices son tres vértices cualesquiera de ese hexágono regular. ¿Cuál es la suma de las áreas de todos esos triángulos?