B2 Demuestra que el producto de cuatro enteros positivos consecutivos no puede ser un cuadrado perfecto ni un cubo perfecto.

B3 En un torneo de todos contra todos con $n$ jugadores en el que no hay empates, los números de victorias obtenidos por los jugadores son $s_1 , s_2 , \ldots, s_n$ . Demuestra que una condición necesaria y suficiente para la existencia de tres jugadores $A,B,C$ tales que $A$ le gana a $B$ , $B$ le gana a $C$ , y $C$ le gana a $A$ es $$s_{1}^{2} +s_{2}^{2} + \ldots +s_{n}^{2} < \frac{(2n-1)(n-1)n}{6}.$$

B4 El título se explica por sí mismo. Elige dos puntos en la esfera unitaria. ¿Cuál es la distancia esperada entre ellos?

B5 Sea $S$ un conjunto infinito de puntos en el plano. La distancia entre cualesquiera dos puntos de $S$ es un número entero. Demuestra que $S$ es un subconjunto de una línea recta.

B6 Un proyectil se mueve en un medio resistente. La fuerza resistente es una función de la velocidad y está dirigida a lo largo del vector velocidad. La ecuación $x=f(t)$ (donde $f(t)$ no es constante) da la distancia horizontal en función del tiempo $t$. Demuestra que la distancia vertical $y$ está dada por $$y=-gf(t) \int \frac{dt}{f'(t)} + g \int \frac{f(t)}{f'(t)} \, dt +Af(t)+B$$ donde $A$ y $B$ son constantes y $g$ es la aceleración debida a la gravedad.

B7 Demuestra que si $f(x)$ es continua para $a\leq x \leq b$ y $$\int_{a}^{b} x^n f(x) \, dx =0$$ para $n=0,1,2, \ldots,$ entonces $f(x)$ es idénticamente cero en $a \leq x \leq b.$

A1 Sea $f(m,1)=f(1,n)=1$ para $m\geq 1, n\geq 1$ y sea $f(m,n)=f(m-1, n)+ f(m, n-1) +f(m-1 ,n-1)$ para $m>1$ y $n>1$. Además, sea $$ S(n)= \sum_{a+b=n} f(a,b) \,\,\;\; a\geq 1 \,\, \text{y} \,\; b\geq 1.$$ Demuestra que $$S(n+2) =S(n) +2S(n+1) \,\, \; \text{para} \, \, n \geq 2.$$

A2 Sea $R_1 =1$ y $R_{n+1}= 1+ n\slash R_n$ para $n\geq 1.$ Demuestra que para $n\geq 1,$ $$ \sqrt{n} \leq R_n \leq \sqrt{n} +1.$$

A3 Bajo el supuesto de que el siguiente conjunto de relaciones tiene una solución única para $u(t),$ determínala. $$ \frac{d u(t) }{dt} = u(t) + \int_{0}^{t} u(s)\, ds, \;\;\; u(0)=1.$$

Al asignar habitaciones en una residencia, una universidad da preferencia a parejas de estudiantes en este orden: $$AA,\, AB ,\, AC, \, BB , \, BC ,\, AD , \, CC, \, BD, \, CD, \, DD$$ donde $AA$ significa dos estudiantes de último año, $AB$ significa un estudiante de último año y uno de penúltimo, etc. Determina valores numéricos para asignar a $A,B,C$ y $D$ de modo que el conjunto de números $A+A, A+B, A+C, B+B, \ldots $ correspondiente al orden anterior quede en orden descendente. Encuentra la solución general y la solución en enteros positivos mínimos.