2 Sean $a_1,a_2,a_3, \cdots $ enteros positivos distintos, y $0<c<\frac{3}{2}$ . Demuestre que: Existen infinitos enteros positivos $k$ , tales que $[a_k,a_{k+1}]>ck $ .

3 Fije los enteros positivos $k,n$ . Una máquina expendedora de dulces tiene muchos colores diferentes de dulces, donde hay $2n$ dulces de cada color. Un grupo de niños compra cada uno de la máquina expendedora $2$ dulces de colores diferentes. Dado que para cualesquiera $k+1$ niños hay dos niños que tienen al menos un color de dulce en común, halle el número máximo de niños.

34 Demuestre la identidad \[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{2}{6} + \ldots + \frac{1}{478} + \frac{1}{479} - \frac{2}{480} = 2 \cdot \sum^{159}_{k=0} \frac{641}{(161+k) \cdot (480-k)}.\]

4 Sobre los lados del triángulo \(ABC\), se construyen tres triángulos isósceles semejantes \(ABP \ (AP = PB)\), \(AQC \ (AQ = QC)\) y \(BRC \ (BR = RC)\). Los dos primeros se construyen externamente al triángulo \(ABC\), pero el tercero se coloca en el mismo semiplano determinado por la recta \(BC\) que el triángulo \(ABC\). Demuestra que \(APRQ\) es un paralelogramo. Amir

5 Considera el conjunto de todas las sucesiones estrictamente decrecientes de $n$ números naturales que tienen la propiedad de que en cada sucesión ningún término divide a otro término de la sucesión. Sean $A = (a_j)$ y $B = (b_j)$ dos sucesiones cualesquiera de este tipo. Decimos que $A$ precede a $B$ si para algún $k$, se tiene $a_k < b_k$ y $a_i = b_i$ para $i < k$. Encuentra los términos de la primera sucesión del conjunto bajo este orden. Amir

4 Demuestre que: Para cada entero $n \ge 3$ , existen enteros positivos $a_1<a_2< \cdots <a_n$ , tales que para $ i=1,2,\cdots,n-2 $ , con $a_{i},a_{i+1},a_{i+2}$ se puede formar un triángulo, y el área del triángulo es un entero positivo.

3 Sean $n$, $b$ y $c$ enteros positivos. Un grupo de $n$ piratas quiere repartir su tesoro de manera justa. El tesoro consiste en $c \cdot n$ monedas idénticas distribuidas en $b \cdot n$ bolsas, de las cuales al menos $n-1$ bolsas están inicialmente vacías. El Capitán Jack inspecciona el contenido de cada bolsa y luego realiza una secuencia de movimientos. En un movimiento, puede tomar cualquier número de monedas de una sola bolsa y ponerlas en una bolsa vacía. Demuestra que sin importar cómo estén distribuidas inicialmente las monedas, Jack puede hacer a lo sumo $n-1$ movimientos y luego repartir las bolsas entre los piratas de modo que cada pirata reciba $b$ bolsas y $c$ monedas.

5 Fije el entero positivo $n$ . Demuestre: Para cualesquiera enteros positivos $a,b,c$ que no exceden $3n^2+4n$ , existen enteros $x,y,z$ con valor absoluto que no excede $2n$ y no todos $0$ , tales que $ax+by+cz=0$

2 Sean $a_1,a_2,a_3, \cdots ,a_n$ números reales positivos. Para los enteros $n\ge 2$ , demuestre que \[ \left (\frac{\sum_{j=1}^{n} \left (\prod_{k=1}^{j}a_k \right )^{\frac{1}{j}}}{\sum_{j=1}^{n}a_j} \right )^{\frac{1}{n}}+\frac{\left (\prod_{i=1}^{n}a_i \right )^{\frac{1}{n}}}{\sum_{j=1}^{n} \left (\prod_{k=1}^{j}a_k \right )^{\frac{1}{j}}}\le \frac{n+1}{n}\]

1 Para un entero positivo $n$ y un subconjunto no vacío $A$ de $\{1,2,...,2n\}$ , llamamos a $A$ bueno si el conjunto $\{u\pm v|u,v\in A\}$ no contiene al conjunto $\{1,2,...,n\}$ . Halle el menor número real $c$ tal que, para cualquier entero positivo $n$ y cualquier subconjunto bueno $A$ de $\{1,2,...,2n\}$ , se tenga $|A|\leq cn$ .