1 Un conjunto $S$ se llama perfecto si tiene las siguientes dos propiedades: a) $S$ tiene exactamente cuatro elementos b) para todo elemento $x$ de $S$ , al menos uno de los números $x - 1$ o $x+1$ pertenece a $S$ . Halle el número de todos los subconjuntos perfectos del conjunto $\{1,2,... ,n\}$

2 Demuestre que la ecuación $(3x+4y)(4x+5y)=7^z$ no tiene solución en números naturales.

3 Sea $S$ un conjunto de números reales tal que: i) $1$ pertenece a $S$ ; ii) para cualesquiera $a, b$ en $S$ (no necesariamente distintos), tenemos que $a-b$ también pertenece a $S$ ; iii) para cualquier $a$ en $S$ ( $a$ es distinto de $0$ ) , tenemos que $1/a$ pertenece a $S$ . Demuestre que para todo $a, b$ en $S$ , tenemos que $ab$ pertenece a $S$ .

4 En el triángulo $ABC$ , donde $<$ $ACB$ $=$ $45$ , $O$ y $H$ son el centro de la circunferencia circunscrita y el ortocentro, respectivamente. La recta que pasa por $O$ y es perpendicular a $CO$ interseca a $AC$ y $BC$ en $K$ , respectivamente $L$ . Demuestre que el perímetro de $KLH$ es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ .

1 Se escriben 2016 dígitos sobre una circunferencia. Leyendo estos dígitos en sentido antihorario, a partir de un cierto número, se obtiene un número divisible por 81. Demuestre que leyendo estos dígitos en sentido horario, obtenemos un número divisible por 81 para cualquier número inicial.

2 Sean $AA_1$ y $BB_1$ alturas en un triángulo acutángulo que se intersecan en $H$ . Sean $A_1A_2$ y $B_1B_2$ alturas en los triángulos $HBA_1$ y $HB_1A$ , respectivamente. Demuestre que $A_2B_2$ y $AB$ son paralelas.

3 Sea $n$ un número natural. Tenemos $n$ colores. Cada uno de los números $1, 2, 3,... , 1000$ fue coloreado con uno de los $n$ colores. Se sabe que, para cualesquiera dos números distintos, si uno divide al otro entonces estos dos números tienen colores diferentes. Determine el menor valor posible de $n$ .

4 Dos de los números $a+b, a-b, ab, a/b$ son positivos y los otros dos son negativos. Halle el signo de $b$

1 Se da una cuadrícula 8x8. Cada casilla está coloreada de negro o blanco, de modo que en cada cuadrado 3x3, el número de casillas blancas sea par. ¿Cuál es el número mínimo de casillas negras?

2 Sean $a, b, c$ reales no negativos que satisfacen $a+b+c=1$ . Demuestre que $\frac{\sqrt{a}}{b+1}+\frac{\sqrt{b}}{c+1}+\frac{\sqrt{c}}{a+1}>\frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$