3 Dada la sucesión $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}$ definida por $y_1=y_2=1$ y \[y_{n+2} = (4k-5)y_{n+1}-y_n+4-2k, \qquad n\ge1\] halle todos los enteros $k$ tales que todo término de la sucesión sea un cuadrado perfecto.

1 Un conjunto $A$ de enteros positivos se llama uniforme si, al eliminar cualquiera de sus elementos, los restantes pueden particionarse en dos subconjuntos con igual suma de sus elementos. Halle el menor entero positivo $n>1$ tal que exista un conjunto uniforme $A$ con $n$ elementos.

2 Sean $a,b,c$ números racionales tales que $a+b+c$ y $a^2+b^2+c^2$ son enteros iguales. Demuestre que el número $abc$ puede escribirse como el cociente de un cubo perfecto y un cuadrado perfecto que son primos relativos.

3 Determine todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que, para cualquier entero positivo $n$ , la ecuación $P(x)=2^n$ tenga una raíz entera.

1 Sea $a_1, a_2... $ una sucesión infinita de números reales tal que $a_{n+1}=\sqrt{{a_n}^2+a_n-1}$ . Demuestre que $a_1 \notin (-2,1)$ Propuesto por Oleg Mushkarov y Nikolai Nikolov

2 Considere las proyecciones ortogonales de los vértices $A$ , $B$ y $C$ del triángulo $ABC$ sobre las bisectrices exteriores de $ \angle ACB$ , $ \angle BAC$ y $ \angle ABC$ , respectivamente. Demuestre que si $d$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo formado por los pies de las proyecciones, mientras que $r$ y $p$ son el inradio y el semiperímetro del triángulo $ABC$ , demuestre que $r^2+p^2=d^2$ Propuesto por Alexander Ivanov

2 Halle todos los valores reales $t$ para los cuales existen números reales $x$ , $y$ , $z$ que satisfacen : $3x^2 + 3xz + z^2 = 1$ , $3y^2 + 3yz + z^2 = 4$ , $x^2 - xy + y^2 = t$ .

2 Suponga que $ABCD$ es un paralelogramo tal que $DAB>90$ . Sea $H$ un punto sobre $AD$ tal que $BH$ es perpendicular a $AD$ . Sea $M$ el punto medio de $AB$ . Sea $K$ el punto de intersección de la recta $DM$ con la circunferencia circunscrita de $ADB$ . Demuestre que $HKCD$ es concíclico.

3 Se dan $n^2$ puntos en el plano, tales que no hay tres de ellos colineales, donde $n \geq 4$ es el entero positivo de la forma $3k+1$ . ¿Cuál es el número mínimo de segmentos de conexión entre los puntos, tal que para cada $n$ -ple de puntos podamos encontrar cuatro puntos que estén todos conectados entre sí? Propuesto por Alexander Ivanov y Emil Kolev

5 Halle todos los pares $(b,c)$ de enteros positivos, tales que la sucesión definida por $a_1=b$ , $a_2=c$ y $a_{n+2}= \left| 3a_{n+1}-2a_n \right|$ para $n \geq 1$ tenga solo un número finito de términos compuestos. Propuesto por Oleg Mushkarov y Nikolai Nikolov