Sean $x_1,x_2,\ldots,x_{20}$ y $y_1,y_2,\ldots,y_{20}$ 2 sucesiones, de modo que cada término de cada sucesión sea $0$ o $1$ . ¿Cuántas parejas $((x_i),(y_i))$ donde $i=1,2,\ldots,20$ de tales sucesiones existen tales que $$x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_{20}y_{20}$$ sea un número par?

5 Sea $AH$ la altura en el triángulo acutángulo $ABC$ , inscrito en la circunferencia $s$ . Los puntos $D$ y $E$ se eligen en el segmento $BH$ . Los puntos $X$ y $Y$ se eligen en los rayos $AD$ y $AE$ , respectivamente, tales que los puntos medios de los segmentos $DX$ y $EY$ estén en $s$ . Suponga que los puntos $B$ , $X$ , $Y$ y $C$ son concíclicos. Demuestre que $BD+BE=2CH$ .

4 El entrenador alineó a $200$ voleibolistas y les dio $m$ pelotas (cada voleibolista podía recibir cualquier número de pelotas). De vez en cuando, uno de los voleibolistas lanza la pelota a otro (y este la atrapa). Después de un tiempo, resultó que de cualesquiera dos voleibolistas, el de la izquierda lanzó la pelota al de la derecha exactamente dos veces, y el de la derecha al de la izquierda exactamente una vez. ¿Para cuál mínimo $m$ es esto posible?

3 El triángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia. Dos hormigas salen de los puntos $B$ y $C$ al mismo tiempo. Se arrastran a lo largo del arco $BC$ una hacia la otra de modo que el producto de las distancias desde ellas al punto $A$ permanezca sin cambios. Demuestre que durante su movimiento (hasta el momento del encuentro), la recta que pasa por las hormigas es tangente a alguna circunferencia fija.

2 Un forzudo, Bambula, puede cargar varias pesas al mismo tiempo, si su peso total no excede $200$ kg, y estas pesas son a lo sumo tres. De camino al trabajo, se lastimó un dedo y descubrió que ahora puede cargar a lo sumo dos pesas (y todavía no más de $200$ kg). ¿Cuál es el mínimo $k$ para el cual es verdadera la afirmación: cualquier conjunto de $100$ pesas que Bambula podía cargar antes en $50$ viajes, con el dedo lastimado podrá cargarlo en no más de $k$ viajes?

1 Dima tiene rotuladores rojo y azul, con uno de ellos pinta puntos racionales en el eje numérico, y con el otro, irracionales. Dima coloreó $100$ puntos racionales y $100$ irracionales, después de lo cual borró las marcas que permitían saber dónde estaba el origen y cuál era la escala. Sergey tiene un compás con el cual puede medir la distancia entre dos puntos coloreados cualesquiera $A$ y $B$ , y luego marcar en el eje un punto ubicado a la distancia medida de cualquier punto coloreado $C$ (a la izquierda o a la derecha); al mismo tiempo, Dima inmediatamente lo pinta con el rotulador apropiado. ¿Cómo puede Sergey averiguar qué color usa Dima para pintar los puntos racionales y qué color para los irracionales?

4 Consideremos todos los trinomios cuadráticos posibles de la forma $x^2 + ax + b$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos que no exceden algún entero positivo $N$ . Demuestre que el número de pares de tales trinomios que tienen una raíz común no excede $N^2$ .

$ABC$$I$$BI$$CI$$ABC$$E$$F$$M$$EF$$C$$EF$$IM$$C$$L$$K$$BC$$ABC$$A$$D$$\frac{DL}{IL}=\frac{DK}{IK}$

1 En las celdas del tablero de $2024\times 2024$ se colocan enteros de modo que en cualquier rectángulo de $2 \times 2023$ (vertical u horizontal) con una celda de esquina recortada que no sobrepase el tablero, la suma de los números sea divisible por $13$ . Demuestre que la suma de todos los números del tablero es divisible por $13$ .

5 $2 \ 000 \ 000$ puntos con coordenadas enteras están marcados en el eje numérico. Se consideran segmentos de longitudes $97$ , $100$ y $103$ con extremos en estos puntos. ¿Cuál es el mayor número de tales segmentos?