Sean $m$ y $n$ enteros positivos mayores que $1$ . En cada cuadrado unitario de una cuadrícula de $m\times n$ hay una moneda con su lado cruz hacia arriba. Un movimiento consiste en los siguientes pasos: seleccione un cuadrado de $2\times 2$ en la cuadrícula; voltee las monedas en los cuadrados unitarios superior izquierdo e inferior derecho; voltee la moneda en el cuadrado superior derecho o en el inferior izquierdo. Determine todos los pares $(m,n)$ para los cuales es posible que toda moneda muestre el lado cara hacia arriba después de un número finito de movimientos. Thanasin Nampaisarn, Tailandia

Una tabla de dimensiones $6 \times 6$ , formada por casillas unitarias, debe cubrirse usando baldosas rectangulares, con los bordes de las baldosas alineados con las líneas de la cuadrícula de la tabla. Baldosas distintas no pueden superponerse y deben tener áreas distintas. ¿Cuál es el máximo número de baldosas que se puede usar? \[ \begin{array}{|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|} \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline \end{array} \]

Sea $\triangle ABC$ un triángulo y sea $M$ el punto medio de $BC$ . Las mediatrices de $AB$ y $AC$ cortan a $BC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. Si $MD = ME$ , demuestre que $\triangle ABC$ es isósceles.

1 Sea $n$ un entero positivo con $n\geq 3$. Considere un tablero de $n \times n$ casillas. En cada paso, los colores de las $5$ casillas que forman la figura de abajo cambian de color (las casillas negras cambian a blancas y las casillas blancas cambian a negras). La figura puede rotarse $90°, 180°$ o $270°$. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/c/8/9e6ec8d2b70fe20df61b54c46c4f969875445c.jpg Inicialmente, todas las casillas son blancas. Determine para qué valores de $n$ se puede lograr, mediante una serie de pasos, que todas las casillas del tablero sean negras.

2 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que todos los factores primos de $2^n-1$ sean menores o iguales que $7$.

3 Sea $ABC$ un triángulo y $M$ el punto medio de $BC$. Sea $\Omega$ la circunferencia tal que $A,B,C \in \Omega$. Sea $P$ la intersección de $\Omega$ y $AM$. $AF$ es una altura del triángulo, con $F\in BC$, y $H$ el ortocentro. Además, las intersecciones de $MH$ y $PF$ con $\Omega$ son $K$ y $T$ respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $KTF$ es tangente a $BC$.

4 Digamos que un entero positivo es $good$ si es igual a la resta de dos cubos de enteros positivos. Por ejemplo: $7$ es un primo $good$ porque $2^3-1^3=7$. Determine cuánto puede valer el último dígito de un primo $good$. Dé todas las posibilidades.

5 Sea $n$ un entero positivo. Beto escribe en el pizarrón una lista de $n$ enteros no negativos. Luego realiza una sucesión de movimientos (dos pasos) del siguiente tipo: Primero, para cada $i=1,2,...,n$, cuenta cuántos números del pizarrón son menores o iguales que $i$. Sea $a_i$ el número obtenido para cada $i=1,2,...,n$. A continuación, borra todos los números del pizarrón y escribe los números $a_1,a_2,...,a_n$. Por ejemplo, si $n=5$ y los números iniciales en el pizarrón son $0,7,2,6,2$, después del primer movimiento los números en el pizarrón serán c $1,3,3,3,3$; después del segundo movimiento serán $1,1,5,5,5$, y así sucesivamente. $a)$ Demuestre que, para todo $n$ y toda configuración inicial, llegará un momento a partir del cual los números ya no se modificarán al usar este movimiento. $b)$ Halle (como función de $n$) el valor mínimo de $k$ tal que, para cualquier configuración inicial, los movimientos realizados a partir del movimiento número $k$ no cambiarán los números del pizarrón.

6 Hay un torneo de ping pong con $n\geq 3$ participantes a los que llamaremos $1, 2, \dots n$. Las reglas del torneo son las siguientes: al comienzo, todos los jugadores forman una fila, ordenados de $1$ a $n$. Los jugadores $1$ y $2$ juegan el primer partido. El ganador queda al comienzo de la fila y el perdedor se coloca detrás de la última persona de la fila. En la siguiente jugada, los dos que en ese momento son los dos primeros de la fila se enfrentan, el ganador queda primero en la fila y el perdedor va al final de la fila, justo detrás del último perdedor. Y así sucesivamente. Después de $N$ partidos, el torneo termina. El jugador número $1$ ganó $a_1$ partidos, el jugador número $2$ ganó $a_2$, y así sucesivamente hasta el jugador $n$, que ganó $a_n$ partidos (es trivial que $a_1+a_2+\dots+a_n=N)$. Determine cuántos juegos ha perdido cada jugador, en función de $a_1, a_2, \dots , a_n$

1 Para todo entero positivo $n$, $P(n)$ se define de la siguiente manera: para cada divisor primo $p$ de $n$ se considera el mayor entero $k$ tal que $p^k\le n$ y se suman todos los $p^k$. Por ejemplo, para $n=100=2^2 \cdot 5^2$, como $2^6<100<2^7$ y $5^2<100<5^3$, resulta que $P(100)=2^6+5^2=89$. Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $P(n)>n$.