6 Dado un rectángulo $\mathcal{R}$ de área $100000 $ , Pancho debe cubrir completamente el rectángulo $\mathcal{R}$ con una cantidad finita de rectángulos con lados paralelos a los lados de $\mathcal{R}$ . Luego, Martín colorea de rojo algunos rectángulos del recubrimiento de Pancho de modo que no haya dos rectángulos rojos con puntos interiores en común. Si el área roja es mayor que $0.00001$ , gana Martín. En caso contrario, gana Pancho. Demuestre que Pancho puede recubrir para asegurar la victoria,

1 Los números naturales se escriben en sucesión, formando una secuencia de dígitos $$12345678910111213141516171819202122232425262728293031\ldots$$ Determine cuántos dígitos tiene el número natural que aporta a esta secuencia el dígito que está en la posición $10^{2000}$ . Aclaración: el número natural que aporta a la secuencia el dígito que está en la posición $10$ tiene $2$ dígitos, porque es $10$ ; el número natural que aporta a la secuencia el dígito que está en la posición $10^2$ tiene $2$ dígitos, porque es $55$ .

2 Dado un triángulo $ABC$ con lado $AB$ mayor que $BC$ , sea $M$ el punto medio de $AC$ y $L$ el punto en el que la bisectriz del ángulo $\angle B$ interseca al lado $AC$ . Por $M$ se traza la recta paralela a $AB$ , que interseca a la bisectriz $BL$ en $D$ , y por $L$ se traza la recta paralela al lado $BC$ que interseca a la mediana $BM$ en $E$ . Demuestre que $ED$ es perpendicular a $BL$ .

3 Hay un tablero con 32 filas y 10 columnas. Pablo escribe 1 o -1 en cada casilla. Matías, viendo el tablero de Pablo, elige una o más columnas, y en cada una de las columnas elegidas cambia todos los números de Pablo por sus opuestos (donde hay 1 pone -1 y donde hay -1 pone 1) . En las otras columnas deja los números de Pablo. Matías gana si logra que su tablero tenga cada una de las filas distinta de todas las filas del tablero de Pablo. En caso contrario, es decir, si alguna fila del tablero de Matías es igual a alguna fila del tablero de Pablo, gana Pablo. Si ambos juegan perfectamente, determine cuál de los dos tiene la victoria asegurada.

4 Determine el número de pares de números naturales $(a,b)$ que verifican simultáneamente que $4620$ es múltiplo de $a$ , que $4620$ es múltiplo de $b$ y que $b$ es múltiplo de $a$ .

5 Un programa de computadora genera una sucesión de números con la siguiente regla: el primer número lo escribe Camilo; a partir de allí, el programa calcula la división entera del último número generado por $18$ ; así obtiene un cociente y un resto. La suma de ese cociente más ese resto es el siguiente número generado. Por ejemplo, si el número de Camilo es $5291,$ la computadora hace $5291 = 293 \times 18 + 17$ , y genera $310 = 293 + 17$ . El siguiente número generado será $21$ , ya que $310 = 17 \times 18 + 4$ y $17 + 4= 21$ ; etc. Cualquiera sea el número inicial de Camilo, a partir de algún momento la computadora genera siempre el mismo número. Determine cuál es ese número que se repetirá indefinidamente, si el número inicial de Camilo es igual a $2^{110}.$

6 Se tiene un triángulo equilátero de papel de área $9$ y se lo dobla en dos, siguiendo una recta que pasa por el centro del triángulo y no contiene ningún vértice del triángulo. Así queda un cuadrilátero en el que las dos piezas se superponen, y tres triángulos sin superposiciones. Determine el menor valor posible del área del cuadrilátero de la superposición.

1 Se escriben tres números naturales mayores o iguales que $2$ , no necesariamente distintos, y a partir de ellos se construye una sucesión con el siguiente procedimiento: en cada paso, si el antepenúltimo número escrito es $a$ , el penúltimo es $b$ y el último es $c$ , se escribe $x$ tal que $$x\cdot c=a+b+186.$$ Determine todos los valores posibles de los tres números escritos inicialmente para que, cuando el proceso continúe indefinidamente, todos los números escritos sean números naturales mayores o iguales que $2$ .

2 Sean $C_1$ y $C_2$ las circunferencias exteriores de centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente. Por $O_1$ se trazan las dos tangentes a la circunferencia $C_2$ , que intersecan a $C_1$ en $P$ y $P'$ . Por $O_2$ se trazan las dos tangentes a la circunferencia $C_1$ , que intersecan a $C_2$ en $Q$ y $Q'$ . Demuestre que el segmento $PP'$ es igual al segmento $QQ'$ .

3 En un torneo de truco se anotan $2k$ personas. Se juegan todos los partidos posibles con la condición de que en cada partido cada uno de los cuatro jugadores conozca a su compañero y no conozca a ninguno de sus dos oponentes. Determine el número máximo de partidos que puede haber en un torneo así.