La sucesión de enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_{2025}$ se define como sigue: $a_1=2^{2024}+1$ y $a_{n+1}$ es el mayor factor primo de $a_n^2-1$ para $1 \leq n \leq 2024$ . Halle el valor de $a_{2024}+a_{2025}$ .

1 El triángulo $ABC$ está inscrito en la circunferencia $\omega$ . La circunferencia $\gamma$ es tangente a $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Además la circunferencia $\gamma$ es tangente a la circunferencia $\omega$ en el punto $S$ . Sea la intersección de $AS$ y $PQ$ el punto $T$ . Demuestre que $\angle{BTP}=\angle{CTQ}$ .

1 Demuestre que para cualesquiera $n$ ( $n \geq 2$ ) fracciones distintas dos a dos en el intervalo $(0,1)$ , la suma de sus denominadores no es menor que $\frac{1}{3} n^{\frac{3}{2}}$ .

2 Determine si $\sqrt{1001^2+1}+\sqrt{1002^2+1}+ \cdots + \sqrt{2000^2+1}$ es un número racional o no.

2 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Las dos tangentes a $\omega$ desde $B$ y $C$ se intersecan en $P$ , $AP$ y $BC$ se intersecan en $D$ . Los puntos $E$ , $F$ están sobre $AC$ y $AB$ tales que $DE \parallel BA$ y $DF \parallel CA$ . (1) Demuestre que $F,B,C,E$ son concíclicos. (2) Denote $A_{1}$ el centro de la circunferencia que pasa por $F,B,C,E$ . $B_{1}$ , $C_{1}$ se definen de manera análoga. Demuestre que $AA_{1}$ , $BB_{1}$ , $CC_{1}$ son concurrentes.

1 Halle todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que la desigualdad: \[ [ (m+n) \alpha ] + [ (m+n) \beta ] \geq [ m \alpha ] + [n \beta] + [ n(\alpha+\beta)] \] sea verdadera para cualesquiera números reales $\alpha$ y $\beta$ . Aquí $[x]$ denota el mayor entero no mayor que el número real $x$ .

3 Halle el menor entero positivo $n$ ( $n\geq 3$ ) tal que entre cualesquiera $n$ puntos (sin tres colineales) en el plano, existan tres puntos que sean los vértices de un triángulo no isósceles.

2 En el triángulo acutángulo $ABC$ , $BC=a$ , $CA=b$ , $AB=c$ , y $a>b>c$ . $I,O,H$ son el incentro, el circuncentro y el ortocentro de $\triangle{ABC}$ respectivamente. Punto $D \in BC$ , $E \in CA$ y $AE=BD$ , $CD+CE=AB$ . Sea la intersección de $BE$ y $AD$ el punto $K$ . Demuestre que $KH \parallel IO$ y $KH = 2IO$ .

3 $n$ es un entero positivo, $F_n=2^{2^{n}}+1$ . Demuestre que para $n \geq 3$ , existe un factor primo de $F_n$ mayor que $2^{n+2}(n+1)$ .

1 Sea $\angle XOY = \frac{\pi}{2}$ ; $P$ es un punto interior de $\angle XOY$ y tenemos $OP = 1; \angle XOP = \frac{\pi}{6}.$ Una recta que pasa por $P$ interseca a los rayos $OX$ y $OY$ en $M$ y $N$ . Halle el valor máximo de $OM + ON - MN.$