Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2017 Problema 4
4 La plaza central de la Ciudad de los Matemáticos tiene forma rectangular $n\times n$, pavimentada con baldosas de $1\times 1$. Para iluminar la plaza, se colocan faroles nocturnos en las esquinas de las baldosas (incluyendo los bordes del rectángulo) de modo que cada farol nocturno ilumina todas las baldosas que tienen esa esquina. Determine el número mínimo de faroles nocturnos tal que, incluso si uno de esos faroles no funciona, sea posible iluminar toda la plaza central con ellos.
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2017 Problema 2
2 Sean $x,y,z$ 3 números reales distintos no iguales a $0$ que satisfacen $x^2-xy=y^2-yz=z^2-zx$ . Halle todos los valores de $\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}$ y de $(x+y+z)^3+9xyz$ .
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2018 Problema 4
4 Una tabla cuadrada $n\times n$ está dividida en $n^2$ celdas unitarias. Algunos segmentos unitarios de la cuadrícula obtenida (es decir, los lados de cualquier celda unitaria) se colorean de negro de modo que toda celda unitaria del cuadrado dado tenga exactamente un lado negro. Halle a) el menor b) el mayor número posible de segmentos unitarios negros.
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2017 Problema 1
1 Sean $x,y,z,t$ números positivos. Demuestre que $\frac{xyzt}{(x+y)(z+t)}\leq\frac{(x+z)^2(y+t)^2}{4(x+y+z+t)^2}.$ Ferid.---.
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2016 Problema 3
3 Todas las celdas de la tabla $m\times n$ están coloreadas de blanco o de negro de modo que todas las celdas de las esquinas de cualquier rectángulo formado por celdas de esta tabla con lados mayores que una celda no son del mismo color. Para los valores $m = 2, 3, 4,$ halle todos los $n$ tales que la coloración mencionada sea posible.
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2016 Problema 4
4 Halle todos los enteros positivos n tales que $ (n ^{ 2} + 11n - 4) n! + 33.13 ^ n + 4 $ es un cuadrado perfecto
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2017 Problema 3
3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sean $D,E,F$ los puntos de contacto de la circunferencia inscrita $(I)$ con $BC,AC,AB$ . Sean $M,N$ puntos de $EF$ tales que $MB \perp BC$ y $NC \perp BC$ . $MD$ y $ND$ cortan a $(I)$ en $D$ y $Q$ . Demuestre que $DP=DQ$ .
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2016 Problema 1
1 Sean $a,b,c \ge 0$ y $a+b+c=3$ . Demuestre que: $2(ab+bc+ca)-3abc\ge \sum_{cyc}^{}a\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}$
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2016 Problema 3
3 Halle todos los números primos $(p,q)$ tales que : $p^{3}+p=q^{2}+q$ Y_ou-ne_S
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Prueba de Selección de Equipos de Azerbaiyán para la JBMO 2017 Problema 4
4 El líder del país de los Gnomos quiere imprimir billetes de $12$ denominaciones diferentes (cada una con un número entero) de modo que sea posible pagar cualquier cantidad de $1$ a $6543$ con estos billetes sin vuelto, usando un máximo de $8$ billetes. (Durante el pago se pueden usar varios billetes de la misma denominación). ¿Puede el líder de la tierra de los Gnomos lograrlo?
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