1. Sea \( I \) el incentro de un triángulo \( ABC \), \( D \) un punto arbitrario del segmento \( AC \), y \( A_{1}, A_{2} \) los puntos comunes de la perpendicular desde \( D \) a la bisectriz \( CI \) con \( BC \) y \( AI \) respectivamente. Define de manera similar los puntos \( C_{1} \), \( C_{2} \). Demuestra que \( B \), \( A_{1} \), \( A_{2} \), \( I \), \( C_{1}, \) \( C_{2} \) son concíclicos. Propuesto por: D. Shvetsov

2 Demuestra que $$\frac{1+ \tan 1^\circ}{1-\tan 1^\circ} + \frac{1+\tan 2^\circ }{1-\tan 2^\circ } + \cdots + \frac{1+\tan 15^\circ}{1-\tan 15^\circ} > 19 $$

4 Sobre la bisectriz del ángulo con vértice \(A\), se fija un punto \(B\). En el segmento \(AB\), se elige un punto arbitrario \(O\) para el cual el círculo con centro \(O\) y radio \(OB\) interseca los lados del ángulo en cuatro puntos. Conecta dos de estos puntos, que estén en lados diferentes del ángulo y a distancias diferentes de \(A\), con un segmento. Demuestra que todos los segmentos construidos de esta manera tocan un círculo fijo.

3 Un número primo $p$ tiene la propiedad de que: Para todos los enteros $a$ y $b$, la sucesión definida por las condiciones $x_1 = a$, $x_2 = b$, y $x_{n+2} = x_{n+1} + x_n$ para $n \ge 1$, contiene un término que es múltiplo de $p$. La sucesión de números de Fibonacci se define por las relaciones $F_1 = F_2 = 1$ y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para $n \ge 1$. Demuestra que $F_{p+1}$ es divisible por $p$.

6 María quiere resolver un reto con una baraja de cartas, cada una con una figura distinta. Inicialmente, las cartas se reparten al azar en dos montones, no necesariamente en partes iguales. El objetivo de María es juntar todas las cartas en un mismo montón. En cada turno, María toma la carta superior de cada montón y las compara. En el libro de reglas hay una tabla que indica, para cada enfrentamiento de cartas, cuál de las dos gana. Ambas cartas se colocan luego en el fondo del montón de la carta ganadora, en el orden que María elija. El reto termina cuando todas las cartas están en un solo montón. Demuestra que siempre es posible que María resuelva el reto, sin importar la distribución inicial de las cartas ni la tabla del libro de reglas.

3 Una excircunferencia con centro en $I_{A}$ toca el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ en el punto $D$. Demuestra que los círculos pedales de $D$ con respecto a los triángulos $ABI_{A}$ y $ACI_{A}$ son congruentes. Propuesto por: K. Belsky

2 Cuatro puntos en el plano no son concíclicos, y cualesquiera tres de ellos no son colineales. Demuestra que existe un punto $Z$ tal que la reflexión de cada uno de estos cuatro puntos respecto a $Z$ se encuentra en la circunferencia que pasa por los tres puntos restantes. Propuesto por: A Kuznetsov

12 Sean dados los círculos $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$. Sea $M$ el punto medio del segmento que une sus centros, y sean $X$, $Y$ puntos arbitrarios en $\omega_{1}$, $\omega_{2}$ respectivamente tales que $MX=MY$. Encuentra el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos $XY$. Propuesto por: L. Shatunov

13. Cada par de lados opuestos de un $2n$-ágono convexo son paralelos. (Dos lados son opuestos si, al recorrer el borde del $2n$-ágono de un lado a otro, se pasan $n-1$ lados intermedios.) Un par de lados opuestos se llama regular si existe una perpendicular común a ellos tal que sus extremos se encuentran sobre los lados y no sobre sus prolongaciones. ¿Cuál es el número mínimo posible de pares regulares? Propuesto por: B. Frenkin

14 Un punto $D$ se encuentra dentro de un triángulo $ABC$ sobre la bisectriz del ángulo $B$. Sean $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ las circunferencias que tocan a $AD$ y $CD$ en $D$ y pasan por $B$; sean $P$ y $Q$ los puntos comunes de $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$ distintos de $B$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $PQD$ y $ACD$ son tangentes. Propuesto por: L Shatunov