A3 Para cada entero positivo $n$ , sea $M(n)$ la matriz de $n\times n$ cuya entrada $(i,j)$ es igual a $1$ si $i+1$ es divisible por $j$ , e igual a $0$ en caso contrario. Demuestre que $M(n)$ es invertible si y solo si $n+1$ es libre de cuadrados. (Un entero es libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de un entero mayor que $1$ . )

A2 Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ la sucesión de números reales definida por $a_1=1$ y $$a_m=\frac1{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{m-1}^2}\qquad\text{for }m\ge2.$$ Determine si existe un entero positivo $N$ tal que $$a_1+a_2+\ldots+a_N>2017^{2017}.$$

A1 Los cinco lados y las cinco diagonales de un pentágono regular se dibujan sobre un papel. Dos personas juegan un juego en el que, por turnos, colorean uno de estos diez segmentos de recta. El primer jugador colorea los segmentos de azul, mientras que el segundo jugador los colorea de rojo. Un jugador no puede colorear un segmento que ya haya sido coloreado. Un jugador gana si es el primero en crear un triángulo de su propio color, cuyos tres vértices sean también vértices del pentágono regular. El juego se declara empate si los diez segmentos han sido coloreados sin que ningún jugador gane. Determine si el primer jugador, el segundo jugador o ninguno de los dos puede forzar una victoria.

N2 Halle todas las ternas $(p, q, r)$ de números primos tales que todos los siguientes números son enteros $\frac{p^2 + 2q}{q+r}, \frac{q^2+9r}{r+p}, \frac{r^2+3p}{p+q}$ Propuesto por Tayikistán

N1 Halle todos los números primos $p$ para los cuales existen enteros positivos $x$ , $y$ y $z$ tales que el número $x^p + y^p + z^p - x - y - z$ es un producto de exactamente tres números primos distintos.

G7 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^{\circ}$ . Sea $K$ el punto medio de $BC$ , y sea $AKLM$ un paralelogramo con centro $C$ . Sea $T$ la intersección de la recta $AC$ y la mediatriz de $BM$ . Sea $\omega_1$ la circunferencia con centro $C$ y radio $CA$ y sea $\omega_2$ la circunferencia con centro $T$ y radio $TB$ . Demuestre que uno de los puntos de intersección de $\omega_1$ y $\omega_2$ está sobre la recta $LM$ . Propuesto por Grecia

G6 Sea $ABC$ un triángulo no isósceles con incentro $I$ . Sea $D$ un punto del segmento $BC$ tal que la circunferencia circunscrita de $BID$ interseca al segmento $AB$ en $E\neq B$ , y la circunferencia circunscrita de $CID$ interseca al segmento $AC$ en $F\neq C$ . La circunferencia circunscrita de $DEF$ interseca a $AB$ y $AC$ en los segundos puntos $M$ y $N$ respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de $IB$ y $DE$ , y sea $Q$ el punto de intersección de $IC$ y $DF$ . Demuestre que las tres rectas $EN, FM$ y $PQ$ son paralelas. Propuesto por Arabia Saudita

G5 Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo $ABC$ . Las rectas $AP, BP$ y $CP$ intersecan nuevamente a las circunferencias circunscritas de los triángulos $PBC, PCA$ y $PAB$ en $D, E$ y $F$ respectivamente. Demuestre que $P$ es el ortocentro del triángulo $DEF$ si y solo si $P$ es el incentro del triángulo $ABC$ . Propuesto por Rumania

G4 El triángulo $ABC$ es tal que $AB < AC$ . La mediatriz del lado $BC$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ , y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $PQ$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $HM$ y $AN$ se cortan sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ .

G3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Los puntos $D$ y $E$ están sobre los segmentos $CA$ y $BC$ respectivamente, tales que $CD = CE$ . Sea $F$ un punto del segmento $CD$ . Demuestre que el cuadrilátero $ABEF$ es circunscribible si y solo si el cuadrilátero $DIEF$ es cíclico. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania