2009.2.1 La base $AB$ del trapecio $ABCD$ es más larga que la base $CD$, y $\angle ADC$ es recto. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersectan en ángulos rectos. Sea $E$ la proyección de $D$ sobre la línea $BC$. Demuestra que $$\frac{|AE|}{|BE|} = \frac{|AC|\cdot |CD|}{|AC|^2-|CD|^2}.$$

5 Se coloca una bola sobre un plano y se marca un punto en la bola. Nuestro objetivo es rodar la bola sobre un polígono en el plano de manera que regrese a donde empezó y el punto marcado quede en la parte superior. Nota que no se permite girar sin moverse, solo rodar. Demuestra que es posible. El tiempo permitido para este problema fue de 90 minutos.

$z$$Re(z),Im(z)\in \mathbb{Z}$$z$$a_0+a_1(1+i)+a_2(1+i)^2+\dots+a_n(1+i)^n$$n\geq 0$$a_j \in \{0,1\}$$a_n=1$

$\mathbb{Z}^{2}$$n$$(2n+1)\times(2n+1)$$\frac{n}{2}$

$ \triangle ABC$$ (O)$$ D$$ BC$$ A$$ W$$ (O)$$ D$$ BC$$ AT$$ A$$ W$$ P$$ AB$$ AP = AT$$ P$$ T$$ A$$ \angle APD = 90^\circ$

$ ABCD$$ AD||BC,DA = DB = DC,\angle BCD = 72^\circ$$ K$$ BD$$ AD = AK,K \neq D$$ M$$ CD$$ AM$$ BD$$ N$$ BK = ND$

$ ABCD$$ BC||AD$$ O$$ T$$ AC,BD$$ Q$$ CD$$ \angle OQD = 90^\circ$$ OTQ$$ CD$$ P$$ TP||AD$

$ P$$ BC$$ ABC$$ AP \neq AB,AP \neq AC$$ l_1,l_2$$ ABP,ACP$$ W_1,W_2$$ l_1,l_2$$ l_1P,l_2P$$ W_1,W_2$$ P$$ Q$$ W_1$$ AB$$ BC$$ Y_1( \mbox{the intersection closer to B})$$ X_1$$ W_2$$ AC$$ BC$$ Y_2(\mbox{the intersection closer to C})$$ X_2$$ PQ,X_1Y_1,X_2Y_2$

$ S_1$$ S_2$$ l$$ S_1$$ B,D$$ S_2$$ A,C$$ A,B,C,D$$ W_1$$ W_2$$ S_1$$ S_2$$ l$$ W_1$$ W_2$$ AB = CD$

$ f(x)\in\mathbb Z[x]$$ f$$ \frac32$$ \alpha$$ f$$ f(\alpha^3+1)\neq0$