8 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $BC>AB=AC$ . $D,M$ son respectivamente los puntos medios de $BC, AB$ . $X$ es un punto tal que $BX\perp AC$ y $XD||AB$ . $BX$ y $AD$ se cortan en $H$ . Si $P$ es el punto de intersección de $DX$ y la circunferencia circunscrita de $AHX$ (distinto de $X$ ) , demuestre que la tangente trazada desde $A$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $AMP$ es paralela a $BC$ . Omid

5 Las circunferencias $W_1,W_2$ se intersecan en $P,K$ . $XY$ es la tangente común de las dos circunferencias que está más cerca de $P$ , $X$ está en $W_1$ y $Y$ está en $W_2$ . $XP$ interseca a $W_2$ por segunda vez en $C$ y $YP$ interseca a $W_1$ en $B$ . Sea $A$ el punto de intersección de $BX$ y $CY$ . Demuestre que si $Q$ es el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de $ABC$ y $AXY$ \[\angle QXA=\angle QKP\] Omid

11 Sean $O, H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo $ABC$ . $M,N$ son los puntos medios de $BH$ y $CH$ . $BB'$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita. Si $HONM$ es un cuadrilátero cíclico, demuestre que $B'N=\frac12AC$ . Omid

2 Sea $ a$ un número natural fijo . Demuestre que el conjunto de divisores primos de $ 2^{2^{n}} + a$ para $ n = 1,2,\cdots$ es infinito

10 Sea $ ABC$ un triángulo con $ AB\ne AC$ . $ D$ es un punto en $ BC$ tal que $ BA = BD$ y $ B$ está entre $ C$ y $ D$ . Sea $ I_{c}$ el centro de la circunferencia que toca a $ AB$ y a las prolongaciones de $ AC$ y $ BC$ . $ CI_{c}$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ ABC$ nuevamente en $ T$ . Si $ \angle TDI_{c} = \frac {\angle B + \angle C}{4}$ entonces halle $ \angle A$

12 $ T$ es un subconjunto de $ {1,2,...,n}$ que tiene esta propiedad : para todos los $ i,j \in T$ distintos , $ 2j$ no es divisible por $ i$ . Demuestre que : $ |T| \leq \frac {4}{9}n + \log_2 n + 2$

1 Halle todas las funciones $ f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ tales que para cada $ x,y\in\mathbb R$ : \[ f(xf(y)) + y + f(x) = f(x + f(y)) + yf(x)\] Omid

2 Suponga que $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ y $ l'$ es una recta tangente a la circunferencia inscrita. Sea $ l$ otra recta que interseca a $ AB,AC,BC$ respectivamente en $ C',B',A'$ . Trazamos una tangente desde $ A'$ a la circunferencia inscrita distinta de $ BC$ , y esta recta interseca a $ l'$ en $ A_1$ . $ B_1,C_1$ se definen de manera similar. Demuestre que $ AA_1,BB_1,CC_1$ son concurrentes. Omid

3 Suponga que $ T$ es un árbol con $ k$ aristas. Demuestre que el cubo de dimensión $ k$ puede particionarse en grafos isomorfos a $ T$ . Omid

4 Sean $ P_1,P_2,P_3,P_4$ puntos en la esfera unitaria. Demuestre que $ \sum_{i\neq j}\frac1{|P_i-P_j|}$ alcanza su valor mínimo si y solo si estos cuatro puntos son los vértices de una pirámide regular. Omid