3 Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $n$ y $k$ existen enteros positivos $a>b>c>d>e>k$ tales que \[n=\binom{a}{3}\pm\binom{b}{3}\pm\binom{c}{3}\pm\binom{d}{3}\pm\binom{e}{3}\] Radu Ignat Max D.R.

4 Sea $P_1P_2\ldots P_n$ un polígono convexo en el plano. Suponemos que para cualquier elección arbitraria de vértices $P_i,P_j$ existe un vértice del polígono $P_k$ distinto de $P_i,P_j$ tal que $\angle P_iP_kP_j=60^{\circ}$ . Demuestre que $n=3$ . Radu Todor

1 Demuestre que la ecuación $x^3+y^3+z^3=t^4$ tiene infinitas soluciones en enteros positivos tales que $\gcd(x,y,z,t)=1$ . Mihai Pitticari & Sorin Rǎdulescu Amir

2 Sea ABC un triángulo y sea $M$ un punto interior. Demuestre que \[ \min\{MA,MB,MC\}+MA+MB+MC<AB+AC+BC.\]

3 Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos tales que un rectángulo de $m\times n$ puede ser embaldosado con L-trominós.

1 Sea $a>1$ un entero positivo impar. Halle el menor entero positivo $n$ tal que $2^{2000}$ es un divisor de $a^n-1$ . Mircea Becheanu

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio del lado $BC$ . Sea $N$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ tal que $\angle NBA=\angle BAM$ y $\angle NCA=\angle CAM$ . Demuestre que $\angle NAB=\angle MAC$ . Gabriel Nagy

3 Sea $S$ el conjunto de los puntos interiores de una esfera y sea $C$ el conjunto de los puntos interiores de una circunferencia. Determine, con demostración, si existe una función $f:S\rightarrow C$ tal que $d(A,B)\le d(f(A),f(B))$ para cualesquiera dos puntos $A,B\in S$ donde $d(X,Y)$ denota la distancia entre los puntos $X$ y $Y$ . Marius Cavachi

1 Sea $P_1$ un $n$ - gono regular, donde $n\in\mathbb{N}$ . Construimos $P_2$ como el $n$ - gono regular cuyos vértices son los puntos medios de las aristas de $P_1$ . Continuando de manera análoga, obtenemos $n$ - gonos regulares $P_3,P_4,\ldots ,P_m$ . Para $m\ge n^2-n+1$ , halle el número máximo $k$ tal que para cualquier coloración de los vértices de $P_1,\ldots ,P_m$ con $k$ colores existe un trapecio isósceles $ABCD$ cuyos vértices $A,B,C,D$ tienen el mismo color. Radu Ignat

2 Sean $P,Q$ dos polinomios mónicos con coeficientes complejos tales que $P(P(x))=Q(Q(x))$ para todo $x$ . Demuestre que $P=Q$ . Marius Cavachi Cezar