2 Demuestre que no existen enteros positivos $a,b$ tales que $(15a +b)(a +15b)$ sea una potencia de $3.$

3 Una función $f : \Bbb{N}_0 \to \Bbb{R}$ satisface $f(1) = 3$ y \[f(m + n) + f(m - n) - m + n - 1 =\frac{f(2m) + f(2n)}{2},\] para cualesquiera enteros no negativos $m$ y $n$ con $m \geq n.$ Halle todas las funciones $f$ de este tipo.

1 Un triángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de radio $R.$ Sean $BD$ y $CE$ las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$ respectivamente y sea la recta $DE$ la que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ en el punto $K.$ Sean $A_1, B_1, C_1$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $K$ a $BC, AC, AB,$ y $x, y$ las distancias desde $D$ y $E$ a $BC,$ respectivamente. (a) Exprese las longitudes de $KA_1, KB_1, KC_1$ en términos de $x, y$ y de la razón $l = KD/ED.$ (b) Demuestre que $\frac{1}{KB}=\frac{1}{KA}+\frac{1}{KC}.$

2 Un triángulo rectángulo tiene lados de longitudes enteras, y la suma de su área y la longitud de uno de sus catetos es igual a $75$ . Halle las longitudes de los lados del triángulo.

1 Sea $f(x)=ax^2+bx+c$ , donde $a,b,c$ son números reales no negativos, no todos iguales a cero. Demuestre que $f(xy)^2\le f(x^2)f(y^2)$ para todos los números reales $x,y$ .

4 Los subconjuntos $A_1,A_2,\ldots ,A_{2000}$ de un conjunto finito $M$ satisfacen $|A_i|>\frac{2}{3}|M|$ para cada $i=1,2,\ldots ,2000$ . Demuestre que existe $m\in M$ que pertenece a al menos $1334$ de los subconjuntos $A_i$ .

1 Demuestre que para cualquier entero $n>3$ existen infinitas progresiones aritméticas no constantes de longitud $n-1$ cuyos términos son enteros positivos cuyo producto es una potencia $n$ - ésima perfecta.

2 Para un $n$ - ágono regular, sea $M$ el conjunto de las longitudes de los segmentos que unen sus vértices. Demuestre que la suma de los cuadrados de los elementos de $M$ es mayor que el doble del área del polígono.

3 Demuestre que para cualesquiera números reales no nulos $a, b, c,$ \[\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2} + \frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2} + \frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2} \geq \frac 35.\]

4 Sea una función $g:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$ que satisface $g(0)=0$ y $g(n)=n-g(g(n-1))$ para todo $n\ge 1$ . Demuestre que: a) $g(k)\ge g(k-1)$ para cualquier entero positivo $k$ . b) No existe $k$ tal que $g(k-1)=g(k)=g(k+1)$ .